מרחב כוויץ

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה מרחב כוויץ (Contractible space) הוא מרחב טופולוגי השקול הומוטופית לנקודה. באופן אינטואיטיבי ניתן לדמיין מרחב כוויץ כמרחב אשר ניתן לכווץ לנקודה בודדת באופן רציף.

כל מרחב כוויץ הוא פשוט קשר וקשיר מסילתית.

הגדרה ואפיון[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי X מרחב טופולוגי. נאמר ש-X כוויץ אם קיים איבר x_0 \in X וקיימת הומוטופיה H:X \times [0,1] \rightarrow X כך ש-\forall x \in X :H(x,0)=x ,  H(x,1)=x_0 .

להלן שני תנאים שקולים:

  • X כוויץ אם ורק אם הוא שקול הומוטופית למרחב טופולוגי עם נקודה אחת.

דוגמאות ותכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • \mathbb{R}^n הוא כוויץ כאשר n סופי. אם נוריד מהמרחב נקודה אחת, לדוגמה הראשית, הוא יפסיק להיות פשוט קשר וגם לא יהיה כוויץ.
  • כל תחום כוכבי (ובפרט קבוצה קמורה) הוא כוויץ.
  • כל ספירה סופית מדרגה גדולה משתיים היא פשוטת קשר, אך לא ניתן לכווץ אותה לנקודה באופן רציף (ולכן איננה כוויצה).
  • נסג של מרחב כוויץ הוא מרחב כוויץ.
  • כל ההעתקות מכל מרחב למרחב כוויץ הן הומוטופיות.
  • בפרט, מרחב כוויץ הוא n-קשיר לכל n \in \mathbb{N}_0 טבעי או אפס. (ראו גם כאן). בפרט, הוא קשיר מסילתית (0-קשיר) ופשוט קשר (1-קשיר).
  • כל ההעתקות ממרחב כוויץ למרחב קשיר מסילתית הומוטופיות זו לזו.

מרחב כוויץ מקומית[עריכת קוד מקור | עריכה]

נאמר שמרחב טופולוגי הוא כוויץ מקומית (Locally contractible) אם לכל נקודה יש בסיס מקומי של מרחבים כוויצים. מרחביים כוויצים מקומית גם הם n-קשירים לכל n, ובפרט הם קשירים מקומית וקשירים מקומית מסילתית.

מרחב כוויץ איננו בהכרח כוויץ מקומית, וגם ההפך לא תמיד נכון.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]