מרחב מכפלה

ערך זה עוסק במרחבי מכפלה בטופולוגיה. אם התכוונתם למרחבי מכפלה פנימית באלגברה לינארית, ראו מרחב מכפלה פנימית.

בטופולוגיה, מרחב מכפלה הוא מרחב טופולוגי שהתקבל ממרחבים קיימים על ידי מכפלה קרטזית שלהם, עם טופולוגיה המכונה "טופולוגיית המכפלה", המוגדרת כך שההטלות על הרכיבים הן פונקציות רציפות.

הגדרה פורמלית

תהיה $\left\{X_n\right\}_{n\isin\Lambda}$ משפחה של מרחבים. מכפלתם היא המכפלה הקרטזית שלהם

$X=\prod_{n \in \Lambda} X_n$.

עבור כל קוארדינטה $\!\, n$ קיימת פונקציית ההטלה $\!\, p_n:X\rarr X_n$ שלכל נקודה במרחב המכפלה מחזירה את ערך הקוארדינטה $\!\, n$ שלה. טופולוגית המכפלה על המרחב הזה תוגדר בתור הטופולוגיה החלשה ביותר (כלומר, בעלת המספר הקטן ביותר של קבוצות פתוחות) שעבורה כל ההטלות הן פונקציות רציפות.

ניתן לאפיין בקלות יחסית תת בסיס של טופולוגיה זו: תת-הבסיס מורכב ממכפלה קרטזית של קבוצה פתוחה $\ V_{N} \subset X_{N}$ בשאר המרחבים. כלומר, $\ U_{N} = V_{N} \times \prod_{n \ne N} X_n$. קבוצה מהצורה הזאת נקראת "קבוצה גלילית". הבסיס מתקבל על ידי לקיחת כל החיתוכים הסופיים של קבוצות גליליות. כלומר, אם קבוצה היא פתוחה במרחב המכפלה אז ההטלה שלה לכל קוארדינטה היא פתוחה, וההטלה שלה לכמעט כל המרחבים היא המרחב כולו. יש לציין כי כאשר המכפלה היא סופית, הגדרה זו מתלכדת עם ההגדרה ה"נאיבית" של טופולוגיית המכפלה, שבה תת-הבסיס הוא קבוצות גליליות, ואם קבוצה היא פתוחה אז ההטלה שלה לכל מרחב היא פתוחה. כדאי לשים לב כי גרירה זו נכונה רק בכיוון אחד - גם אם כל ההטלות של קבוצה לכל המרחבים היא פתוחה, אין זה אומר שהקבוצה היא פתוחה.

כדאי לשים לב גם כי ההטלות הן תמיד העתקות פתוחות. כלומר, הטלה של כל קבוצה פתוחה לכל תת-מרחב היא פתוחה. ההעתקות, לא חייבות להיות סגורות - אם הן היו סגורות אז קבוצות במרחב המכפלה היו פתוחות אם ורק אם ההטלה שלהן לכל רכיב הייתה פתוחה, וזה לא מתקיים. ניתן לקחת כדוגמה נגדית פשוטה את ההטלות של גרף פונקציה ההפכית: $\ \{(x,\frac{1}{x})|x\ne 0 \}\subset \mathbb{R}^2$. הגרף סגור ב $\mathbb{R}^2$ (קל לראות כי המשלים שלו פתוח) אך ההטלה של גרף זה לכל אחד מהצירים הוא הישר כולו פרט לאפס, וזו כמובן אינה קבוצה סגורה.

התכונה האוניברסלית של מרחבי מכפלה

ניתן לאפיין מרחבי מכפלה גם בצורה הבאה:

אם $\ Y$ הוא מרחב טופולוגי, ולכל $\ n$ ההטלה $\ f_n :Y \to X_n$ היא רציפה, אז קיימת העתקה רציפה יחידה, $\ f: Y \to X$ כך שלכל $\ n$ מתקיים כי $\ f_n=p_n \circ f$.

תכונות נשמרות

אומרים על תכונה שהיא נשמרת תחת מכפלה אם מתקיים שלכל אוסף של מרחבים $\ X_n$ המקיימים את התכונה, גם מרחב המכפלה $\ \prod X_n$ מקיים את התכונה.

אקסיומות ההפרדה

תכונות נשמרות:

• $\ T_0$
• $\ T_1$
• $\ T_2$ (האוסדורף)
• $\ T_{3\frac{1}{2}}$ (טיכונוף)
• רגולריות

לעומת זאת, נורמליות לא בהכרח נשמרת תחת מכפלה.

קומפקטיות

משפט טיכונוף מראה כי מכפלה כלשהי של מרחבים קומפקטיים היא קומפקטית. לעומת זאת, מכפלה של מרחבים קומפטיים מקומית אינה בהכרח קומפקטית מקומית.

קשירות

קשירות היא תכונה נשמרת תחת מכפלות אולם קשירות מסילתית איננה נשמרת תחת מכפלות.

טופולוגיית התיבות

ניתן גם להגדיר טופולוגיה שונה על מרחב מכפלה, שבסיסה הוא אוסף המכפלות של קבוצות פתוחות ב-$\ X_n$. זוהי טופולוגיה עדינה יותר מטופולוגיית המכפלה, והיא פחות נפוצה. כמובן שכאשר מדובר בטופולוגיית התיבות, חלק מן הטענות האמורות בערך זה (כגון משפט טיכונוף, או שימור של אקסיומות הפרדה) אינן תקפות.