מרחב מנה (טופולוגיה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, מרחב מנה הוא מרחב טופולוגי שנוצר על ידי צמצום של מרחב טופולוגי נתון לתוך קבוצה חדשה על ידי פונקציה, יחס שקילות או פעולת חבורה. הטופולוגיה של מרחב המנה נקראת טופולוגית המנה.

הגדרות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרה על ידי פונקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהינתן מרחב טופולוגי X וקבוצה Y (שעליה אין עדיין מבנה טופולוגי), עם פונקציה \ f: X \rightarrow Y שהיא על, נגדיר טופולוגיה על Y על ידי הגדרת הבסיס שלה: \ \mathcal{B}_Y= \left\{ U \sub Y : f^{-1} (U) \in \tau_X \right\}, כאשר \ \tau_X זהו אוסף כל הקבוצות הפתוחות ב-X. טופולוגיה זו נקראת טופולוגית המנה, ופונקציה כזו נקראת פונקציית מנה. למעשה בדרך הזו אנו מכריחים את הפונקציה להיות רציפה, על ידי בניית טופולוגיה מתאימה על המרחב השני. כאשר X ו-Y הם מרחבים טופולוגיים ו-f פונקציה רציפה ועל מ-X ל-Y, לא בהכרח מרחב המנה של X לפי f יהיה Y. כאשר X מרחב קומפקטי ו-Y מרחב האוסדורף, ו-f פונקציה רציפה ועל, אז הטופולוגיה של Y היא טופולוגית המנה. טופולוגית המנה על Y הינה הטופולוגיה העדינה ביותר שבעבורה f רציפה.

הגדרה על ידי יחס שקילות[עריכת קוד מקור | עריכה]

דרך נוספת להגדרת טופולוגית המנה היא על ידי יחס שקילות. אם X מרחב טופולוגי שמוגדר עליו יחס שקילות E, מרחב המנה X/E יהיה מרחב טופולוגי שיוגדר על ידי "הדבקת" כל הנקודות שנמצאות באותה מחלקת שקילות. נוח לראות זאת על ידי ההגדרה הקודמת כאשר \ f=p- ההטלה של כל איבר למחלקת השקילות שלו, ו- Y=X/E.
דרך זו מאוד שימושית כאשר רוצים "להדביק" נקודות שונות במרחב X.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

עיגול במישור הופך לספירה (במרחב התלת-ממדי) על ידי כיווץ השפה שלו (המעגל) לנקודה אחת.
  • הספירה הדו-ממדית ניתנת להצגה כמרחב המנה של העיגולמישור) לפי יחס השקילות שתחתיו שתי נקודות שונות שקולות זו לזו רק אם הן שייכות לשפת העיגול. בדרך זו למעשה מעתיקים את כל נקודות השפה של העיגול לנקודה יחידה על הספירה, בעוד ששאר הנקודות ממלאות את שאר הספירה. בעוד שהעיגול ניתן לשיכון בתוך המרחב האוקלידי הדו-ממדי (המישור), הספירה הדו-ממדית כבר לא ניתנת לשיכון שם, וניתן לשכן אותה רק במרחב האוקלידי התלת-ממדי.
  • המרחב הפרויקטיבי הקלאסי נוצר מהמרחב האוקלידי (למעט נקודת הראשית) על ידי יחס השקילות \vec x \sim \lambda \vec x לכל \ \lambda ממשי.