מרחב פרויקטיבי

מרחב פרויקטיבי הוא מרחב המקיים את האקסיומות של הגאומטריה הפרויקטיבית. המרחב הפרויקטיבי דומה למרחב האוקלידי, אולם כל שני ישרים נפגשים בו בנקודה. כלומר, הוא אינו מקיים את האקסיומה החמישית של אוקלידס.

מרחבים פרויקטיביים ממשיים

אינטואיציה

במקרה החד-ממדי, המרחב מכונה ישר פרויקטיבי ממשי. מבחינה אינטואיטיבית נתן להתייחס אליו כישר בגאומטריה הרגילה, בתוספת נקודה מיוחדת, הנקראת נקודת אינסוף, שאינה שוכנת על הישר. הנקודה באינסוף מעניקה לכל ישר פרויקטיבי מבנה של מעגל: ישר כזה כולל את הישר המתאים מן המישור הרגיל, בתוספת נקודת האינסוף, שאינה שוכנת על הישר. בניגוד לגישה באנליזה, אין הפרדה בין $\ +\infty$ ו-$\ -\infty$, ונקודת האינסוף ממלאת את שני התפקידים בו-זמנית.

במקרה הדו-ממדי, אנו עוסקים במישור פרויקטיבי ממשי, הבנוי מאוסף אינסופי של ישרים פרויקטיביים (בהקבלה למישור הממשי הרגיל הבנוי מאוסף של ישרים). כל ישר פרויקטיבי, כאמור, מורכב מישר רגיל ונקודת אינסוף. אולם, במישור הפרויקטיבי הממשי, נקודת האינסוף של כל קבוצת ישרים מקבילים היא משותפת. כך, לכל כיוון ישנה נקודת אינסוף, בה נפגשים כל הישרים שהם בעלי שיפוע מסוים. כלומר, בהינתן $\ a \in \R$ כלשהו, קבוצת כל הישרים שמשוואתם היא $\ \{y=ax+b | b \in \R\}$, מגדירה נקודת אינסוף בכיוון זה. באופן זה נקבל שכל שני ישרים במישור הפרויקטיבי נפגשים: ישרים בעלי שיפוע שונה נפגשים בנקודה סופית, רגילה, וישרים בעלי אותו שיפוע נפגשים בנקודה אינסופית. על מנת להשלים את הבניה, ובכדי שבין כל זוג נקודות יעבור ישר, נוסיף את "ישר האינסוף", שהוא ישר מיוחד המורכב מאוסף כל נקודות האינסוף.

בניה בקואורדינטות הומוגניות

קואורדינטות הומוגניות מספקות דרך נוחה להגדיר את המרחב הפרויקטיבי.

יהי F שדה ויהי $V = F^{n+1}$ מרחב וקטורי מממד n+1 מעל F. באמצעות הבסיס הסטנדרטי אפשר לתאר כל וקטור ב-V על ידי קואורדינטות: $\left( x_0 , ... , x_n \right)$. נגדיר יחס שקילות על $V-\{(0,...,0)\}$ באופן הבא:

$(x_0,...,x_n) \sim (y_0,...,y_n) \iff \exists \lambda \in F^\times : (x_0, ... , x_n) = (\lambda y_0 , ... , \lambda y_n)$,

כלומר: קיים סקלר שונה מאפס כך ששתי ה-n+1-יות פרופורציוניות זו לזו על ידי סקלר זה. זהו יחס שקילות על V. את מחלקת השקילות של יחס זה נסמן

$\left( x_0 : ... : x_n \right) = \left[ (x_0,...,x_n) \right]$

כאשר סימון הנקודותיים בא להזכיר שמה שחשוב באמת הוא היחסים בין הקואורדינטות. הקואורדינטות המתארות את מחלקת השקילות $\left( x_0 : ... : x_n \right)$ נקראות "קואורדינטות הומוגניות". המרחב הפרויקטיבי מוגדר להיות המרחב של כל מחלקות השקילות הללו, כלומר:

$\mathbb{P}^n_F = \mathbb{P}(V) = (V-\{(0,...,0)\})/\sim$.

הישר הפרויקטיבי

הטלה מרכזית (perspective projection, הטלה פרספקטיבית) היא העתקה המעבירה נקודה אחת לנקודה שנייה ביחס לנקודת מוקד. על מנת לבצע הטלה מרכזית יש לבחור נקודת מוקד וטווח אליו תועתקנה הנקודות. בהינתן נקודה x במרחב, נבחר את הישר המחבר אותה לנקודת המוקד (ישנו ישר יחיד כזה) ונחתוך אותו עם הטווח שלנו. נקודת החיתוך, אם ישנה כזו, היא התמונה של x. בהנחות היסוד לגבי ציור בפרספקטיבה, הציור הוא הטלה פרספקטיבית של העצם המצויר. עינו של הצייר היא מוקד ההטלה ובד הציור הוא הטווח אליו מוטל מושא הציור. מסיבה זו, נהוג להתייחס לישרים העוברים בנקודת המוקד כ"כיוונים" אליהם מסתכלת נקודת המוקד.

הישר הפרויקטיבי (פרויקציה = הטלה) זכה בשמו בשל ההתאמה בין הנקודות שעליו, לכיוון ממנו רואים אותן מנקודה קבועה. לשם הפשטות, נגדיר נקודת מוקד בראשית הצירים $\ (0,0)$ ונגדיר את הישר $\ L=\{(1,y): y\in \mathbb{R}\}$ להיות טווח ההטלה. נטיל את הנקודה $\ P=(3,3)$ אל $\ L$ ביחס לראשית הצירים.

לשם כך, עלינו לחבר את הנקודה $\ P$ עם ראשית הצירים, על ידי הישר (הכיוון) $\ L_1$. נקודת החיתוך של $\ L_1$ עם $\ L$ היא בנקודה $\ (1,1)$, וזוהי תוצאת ההטלה. באופן זה ניתן להטיל כל נקודה $\ \{(x,y) | x \neq 0 \}$ במישור הממשי אל הטווח $\ L$, והיא תוטל ל-$\ (1,{y \over\ x})$. את הנקודות שבכיוון הציר האנכי לא נוכל להטיל אל הטווח $\ L$. לשם כך אנו מוסיפים לטווח את נקודת האינסוף, המייצגת הסתכלות מנקודת המוקד בכיוון המקביל לישר $\ L$. כך קבלנו התאמה בין ישר פרויקטיבי ובין אוסף כל כיווני המבט מנקודה קבועה.

המישור הפרויקטיבי

המרחב הפרויקטיבי $\ \mathbb{PR}^2$ מוגדר באופן דומה. נגדיר שוב את ראשית הצירים של המרחב האוקלידי התלת-ממדי כמוקד ההטלה, ונגדיר את העל-מישור $\ H:=\{(x,y,1) | x,y \in\ R\}$ כטווח ההטלה. שוב, כל נקודה $\ \{(x,y,z) | z \neq 0\ \}$ תוטל אל $\ ({x \over z}, {y \over z}, 1) \in\ H\$. כך, כל כיוון שאליו מביטים מראשית הצירים יחתך עם $\ H$, להוציא המישור $\ I:=\{(x,y,0) | x,y \in\ R\}$. לכן, כל כיוון $\ L_a:=\{(x,ax,0) | x \in\ R\}$ המוכל במישור $\ I$ יגדיר נקודות אינסוף במישור הפרויקטיבי.

סך הכל קבלנו כי המישור הפרויקטיבי מכיל מישור ממשי וקבוצה של נקודות אינסוף. בערך המורחב מוצגות תכונות של הצגה זו. בפרט מוכח שהגדרה זו מקיימת את האקסיומה המרכזית של המישור הפרויקטיבי. כלומר, שכל שני ישרים במישור הפרויקטיבי נפגשים בנקודה יחידה.

בניה של מרחב פרויקטיבי על ידי יחס שקילות

ניתן לבנות מרחב פרויקטיבי n ממדי (מעל שדה כלשהו F) באופן הבא: מתבוננים במרחב ה-(n+1)-ממדי $\ V=F^{n+1}$, ומסלקים ממנו את נקודת הראשית (שתשמש עוגן לפרספקטיבה). על המרחב הנותר מגדירים יחס שקילות באופן הבא: הנקודות $\ x,y$ שקולות אם קיים סקלר $\ \lambda\neq 0$ בשדה, כך ש- $\ y=\lambda x$.

הנקודות של המרחב הפרויקטיבי $\ \mathbb{P}F^n$ הן, על-פי ההגדרה, מחלקות השקילות $\ \{\lambda x| 0 \neq\lambda \in\ F\}$, המייצגות ישרים מנוקבים (בלא הראשית) במרחב המקורי. לכל מרחב m-ממדי $\ H\sub V$, המרחב ה-(m-1)-ממדי הפרויקטיבי המתאים כולל את הנקודות $\ [x]$ עבור $\ x\in H$; בפרט, הישרים מתקבלים ממישורים ב-V.

מבנה זה מקיים את האקסיומות הנדרשות ממרחבים פרויקטיביים (לכל שדה F, ואפילו כאשר F הוא חוג עם חילוק).

מישורים פרויקטיביים סופיים

מישור פרויקטיבי סופי הוא מישור פרויקטיבי שיש בו מספר סופי של נקודות. אם על אחד הישרים במישור פרויקטיבי יש מספר סופי של נקודות, אז המישור כולו סופי. למעשה, אם על הישר יש n+1 נקודות, אז זה מספר הנקודות על כל ישר, ומספר הנקודות במישור הוא $\ n^2+n+1$. מישור כזה הוא מסדר n.

ניתן לראות זאת, למשל, על ידי הצעדים הבאים:

• נניח שעל הישר $\ l$ נמצאות בדיוק n+1 נקודות. לכל ישר $\ l_2 \ne\ l$ אפשר לבחור נקודה $\ Q$ שאינה על שני הישרים, ולהגדיר העתקה מ-$\ l$ ל-$\ l_2$ על ידי חיתוך הישר העובר דרך $\ Q$ ו-$\ p_i$ כלשהי, עם הישר $\ l_2$. העתקה כזו היא הפיכה, ולכן מספר הנקודות על $\ l$ ועל $\ l_2$ שווה. מכאן רואים, שבכל ישר במרחב ישנו אותו המספר של נקודות.
• בהינתן נקודה P וישר $\ l$ שאינו עובר דרכה, כל נקודה $\ Q \in\ l$ משרה ישר יחיד העובר דרך $\ P$ ו-$\ Q$. מכאן שמספר הנקודות על l שוה למספר הישרים העוברים דרך $\ P$. בפרט, דרך כל הנקודות במרחב עובר אותו מספר ישרים.
• נבחן את מספר הנקודות במרחב פרויקטיבי כלשהו מעל שדה סופי. נסמן ב-$\ n+1$ את מספר הנקודות הנמצאות על כל ישר (שהוא גם מספר הישרים העובר דרך נקודה כלשהי). נבחר נקודה $\ P$ כלשהי ונצייר את כל הישרים העוברים דרכה - ישנם $\ n+1$ כאלו. כאמור, בכל ישר כזה ישנן $\ n+1$ נקודות. מכיוון של-$\ n$ הישרים ישנה נקודה המשותפת לכולם, היא $\ P$, נקבל סה"כ $\ n^2+n+1$ נקודות. מכיוון שדרך כל נקודה במישור עובר ישר החותך את $\ P$, קבלנו שזהו מספר הנקודות במישור.
• שיקול דומה יראה כי מספר הישרים במישור שוה למספר הנקודות במישור.

ניתן לומר שכל מישור פרויקטיבי סופי הוא מערכת שטיינר מן הצורה $\ S(2,n+1,n^2+n+1)$.

מכאן שבמישור הפרויקטיבי הקטן ביותר יש $\,2^2+2+1=7$ נקודות; מישור זה נקרא מישור פאנו (ע"ש המתמטיקאי ג'ינו פאנו), וניתן לתאר אותו באופן סכמטי בציור שמשמאל.

המישור הפרויקטיבי הקטן ביותר מכיל שבע נקודות, שתסומנה $\ 1,2,... 7$ , ואת הישרים: $\ \{1,2,4\}$, $\ \{2,3,5\}$, $\ \{3,4,7\}$, $\ \{4,5,6\}$, $\ \{5,7,1\}$, $\ \{6,7,2\}$, $\ \{6,1,3\}$.

הרישום שמשמאל נועד רק להמחשה של המרחב. אין אפשרות לבחור שבע נקודות במישור האוקלידי כך שיעברו דרכן שבעה ישרים כדלעיל כשכל אחד ישר אוקלידי. בשרטוט משמאל הישר $\ \{2,3,5\}$ במישור פאנו צויר באמצעות עקומה.

זיהוי הנקודות הפרויקטיביות עם הכיוונים במרחב וקטורי תלת-ממדי בונה מישורים פרויקטיביים מכל סדר שהוא חזקת-ראשוני. משערים שהסדר של כל מישור פרויקטיבי הוא חזקת ראשוני, ואכן אפשר להוכיח שאין מישורים פרויקטיביים מסדר 6 או 14. עם זאת, לא ידוע האם קיים מישור פרויקטיבי מסדר 10.

בניית מישור פרויקטיבי באמצעות ריבועים לטיניים

בהינתן $\ n-1$ ריבועים לטיניים מסדר n, ניתן לבנות באמצעותם מישור פרויקטיבי מסדר n.

עבור כל משבצת בלוח ריבועי בגודל $\ n\times n$ נגדיר "נקודה" מתאימה; נגדיר "נקודה" נוספת עבור כל אחד מהריבועים הלטיניים, ונגדיר שתי "נקודות" נוספות: "נקודת השורות" ו"נקודת העמודות".

עבור כל ריבוע לטיני, וכל ערך שמופיע בו, נגדיר "ישר" שיכלול את כל הנקודות שמייצגות את המשבצות בהן מופיע הערך, וכן את הנקודה שמייצגת את אותו ריבוע לטיני. עבור כל שורה או עמודה בלוח הריבועי, נגדיר "ישר" של כל המשבצות בה, ונקודת השורות או נקודת העמודות, בהתאמה. לסיום נגדיר "ישר" אחרון, שיכלול את כל הנקודות שמייצגות ריבועים לטיניים, יחד עם נקודת השורות ונקודת העמודות. קל לראות שנקודות וישרים אלה מהווים מישור פרויקטיבי סופי מסדר n.

ניתן לבצע גם בנייה הפוכה: בהינתן מישור פרויקטיבי סופי מסדר n, ניתן לבנות באמצעותו n ריבועים לטיניים מסדר $\ n-1$. לכן, קיים מישור פרויקטיבי מסדר n אם ורק אם קיימים $\ n-1$ ריבועים לטיניים מאונכים בזוגות מסדר n.

ראו גם

• מערכת שטיינר
• יריעה פרויקטיבית
• שיכון סגרה