מרחב פרויקטיבי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מרחב פרויקטיבי הוא גאומטריה עם נקודות וישרים, המקיימת כמה אקסיומות פשוטות. למרחב פרויקטיבי יש ממד, ומרחב מממד 2 נקרא מישור פרויקטיבי. מרחבים פרויקטיביים הם מושא המחקר המרכזי בגאומטריה פרויקטיבית. מרחבים פרויקטיביים קשורים קשר הדוק למרחבים אפיניים, וכמותם אפשר לטפל בהם גם מנקודת מבט אקסיומטית וגם מנקודת המבט של הדוגמה העיקרית למרחב אפיני - המרחב האוקלידי.

הגישה האקסיומטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מנקודת המבט של גאומטריית חילה, מרחב פרויקטיבי הוא גאומטריה שיש בה שני טיפוסים, נקודות וישרים, עם יחס חילה ביניהם. מערכת של נקודות וישרים נקראת מרחב פרויקטיבי אם דרך כל שתי נקודות x,y עובר ישר יחיד xy, יש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים, ומתקיימת אקסיומת ובלן-יאנג: אם הישרים ab ו-cd נחתכים, אז גם ac ו-bd נחתכים. מרחב פרויקטיבי הוא מרחב דזרגי אם הוא מקיים את משפט דזרג.

תת-מרחבים[עריכת קוד מקור | עריכה]

במרחב פרויקטיבי נתון, קבוצת נקודות הכוללת יחד עם כל שתי נקודות x,y את כל הנקודות על הישר xy נקראת תת-מרחב. תת-מרחב שאינו מוכל כולו בישר אחד מהווה מרחב פרויקטיבי בעצמו. אם U תת-מרחב של מרחב פרויקטיבי P ו-p נקודה מחוץ לו, אז איחוד הישרים pu (עבור הנקודות u על U) הוא תת-המרחב הנוצר על ידי U ו-p; תת-המרחב הזה נוצר על ידי U וכל נקודה שלו שמחוץ ל-U. תת-המרחב הנוצר על ידי שלוש נקודות x,y,z שאינן על ישר אחד נקרא מישור.

בדומה להגדרות באלגברה לינארית, אפשר להגדיר בסיס של מרחב פרויקטיבי P כקבוצה S שהיא פורשׂת (כלומר S יוצרת את P) ובלתי תלויה (אף תת-קבוצה אמיתית של S אינה פורשת את P). קבוצה היא בסיס אם ורק אם היא פורשת מינימלית, אם ורק אם היא בלתי תלויה מקסימלית. לכל מרחב פרויקטיבי יש בסיס (עובדה זו מצריכה את הלמה של צורן). הבסיסים של מרחב פרויקטיבי P מקיימים את למת ההחלפה של שטייניץ, וכתוצאה מכך לכל הבסיסים אותו גודל - וזהו, על-פי ההגדרה, הממד של P. הממד מקיים את נוסחת הממדים \operatorname{dim}(\langle U,U'\rangle) = \operatorname{dim}(U)+\operatorname{dim}(U')-\operatorname{dim}(U\cap U'). תת-מרחב מקסימלי (כזה שבהוספת נקודה אחת פורש את המרחב כולו) נקרא על-מישור.

טרנספורמציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של מרחב פרויקטיבי לקבוצת הנקודות של מרחב פרויקטיבי נקראת קולינאציה אם לכל x,y,z על ישר אחד, גם התמונות נמצאות על ישר אחד. כל קולינאציה משרה העתקה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצות הישרים של המרחבים, ומעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים. קולינאציה שומרת על בסיסים וממדים. מרחבים פרויקטיביים שיש ביניהם קולינאציה הם איזומורפיים.

הקולינאציה עם מרכז z וציר H: אם קיימת קולינאציה המעבירה את p ל-(a(p, אז היא מעבירה את x ל-(a(x.

קולינאציה a ממרחב פרויקטיבי לעצמו היא מרכזית אם יש לה נקודת מרכז (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a). תכונה זו שקולה לקיומו של ציר (על-מישור שכל נקודותיו נשמרות). קולינאציה מרכזית שנקודת המרכז שלה אינה שייכת לציר נקראת הומולוגיה. אוסף הקולינאציות \ G(p,H) עם מרכז נתון p וציר נתון H מהווה חבורה. קולינאציה ב-\ G(p,H) נקבעת על ידי התמונה של כל נקודה שאינה ב-\ H \cup \{p\}; אם המרחב דסרגי, אז החבורה פועלת טרנזיטיבית על החלק שמחוץ ל-\ H \cup \{p\} של כל ישר דרך p. (על הקולינאציות של המישור הפרויקטיבי הקלאסי, ראה מישור פרויקטיבי).

הקשר למרחבים אפיניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם מסירים ממרחב פרויקטיבי את כל הנקודות בעל-מישור, מתקבל מרחב אפיני; וכל מרחב אפיני מתקבל כך, באופן יחיד (עד כדי איזומורפיזם). קולינאציה בין מרחבים פרויקטיביים משרה קולינאציה בין המרחבים האפיניים המתקבלים מהם, ולהיפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרויקטיביים שהם מגדירים.

דואליות ופולריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי P מרחב פרויקטיבי. המרחב הדואלי \ P^* הוא הגאומטריה שהנקודות והישרים שלה הן תת-המרחבים מקו-ממד 1 ו-2 של P, בהתאמה. זהו מרחב פרויקטיבי, מאותו ממד כמו P. קולינאציה מ-P למרחב הדואלי (שהיא התאמה בין נקודות לתת-מרחבים מממד d-1, המעבירה שלוש נקודות על ישר לשלושה מרחבים הנחתכים במימד d-2) נקראת דואליות של P. אם \ \delta : P \rightarrow P^* היא דואליות, אז לכל תת-מרחב U של P מתקיים \ \delta(U) = \bigcap_{x \in U} \delta(x).

דואליות היא פולריות, אם \ x\in \pi(y) אם ורק אם \ y\in \pi(x); פולריות אינה אלא דואליות מסדר 2. תת-מרחב U של P הוא מוחלט ביחס לפולריות \ \pi, אם \ U \subseteq \pi(U). אם לפולריות יש לפחות ישר מוחלט אחד, אז הנקודות והישרים המוחלטים מהווים מרחב פולרי.

אם P מוגדר בקואורדינטות הומוגניות, אפשר לתאר את הדואליות והפולריות שלו באמצעות תבניות בילינאריות; ראו להלן.

בניה בקואורדינטות הומוגניות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קואורדינטות הומוגניות מספקות דרך נוחה לבנות מרחב פרויקטיבי; בממד 3 ואילך, כל מרחב פרויקטיבי נבנה באופן הזה.

יהי F שדה ויהי \,V מרחב וקטורי. מ-V מסלקים ממנו את נקודת הראשית (שתשמש עוגן לפרספקטיבה), ועל הנקודות הנותרות מגדירים יחס שקילות באופן הבא: הנקודות \ x,y \in V שקולות אם קיים סקלר \ 0 \neq \lambda \in F, כך ש- \ y=\lambda x.

הנקודות של המרחב הפרויקטיבי \ \mathbb{P}V הן, על-פי ההגדרה, מחלקות השקילות \ \{\lambda x| 0 \neq\lambda \in\ F\} , המייצגות ישרים מנוקבים (בלא הראשית) במרחב המקורי. לכל תת-מרחב לינארי \ H\sub V, המרחב הפרויקטיבי המתאים כולל את הנקודות \ [x] עבור \ x\in H. הממד הפרויקטיבי תמיד קטן ב-1 מן הממד באלגברה לינארית: מרחבים חד-ממדיים מתאימים לנקודות, מרחבים דו-ממדיים לישרים, וכן הלאה.

אם \ V = F^{n+1} הוא מרחב וקטורי מממד סופי, אפשר לתאר כל וקטור שלו על ידי קואורדינטות באמצעות הבסיס הסטנדרטי:  x = \left( x_0, \dots , x_n \right). יחס השקילות מוגדר על V-\{(0,\dots,0)\} באופן הבא: (x_0,\dots,x_n) \sim (y_0,\dots,y_n) \iff \exists \lambda \in F^\times : (x_0, \dots , x_n) = (\lambda y_0 , \dots , \lambda y_n), כלומר: קיים סקלר שונה מאפס כך ששתי ה-n+1-יות פרופורציוניות זו לזו על ידי סקלר זה. זהו יחס שקילות על V. את מחלקת השקילות של וקטור תחת היחס הזה נסמן \left( x_0 : \dots : x_n \right) = \left[ (x_0, \dots,x_n) \right] כאשר סימון הנקודתיים בא להזכיר שמה שרק היחסים בין הקואורדינטות משמעותיים. הקואורדינטות המתארות את מחלקת השקילות \left( x_0 : \dots : x_n \right) נקראות "קואורדינטות הומוגניות". המרחב הפרויקטיבי מוגדר להיות המרחב של כל מחלקות השקילות הללו, כלומר: \mathbb{P}^n_F = \mathbb{P}(V) = (V-\{(0,\dots,0)\})/\sim.

שדה הסקלרים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בבניה שתוארה לעיל אפשר להחליף את שדה הסקלרים F בכל חוג עם חילוק (אסוציאטיבי) D, כאשר המרחב הווקטורי V מוחלף במרחב וקטורי שמאלי מעל D (לאו דווקא מממד סופי). כל מרחב פרויקטיבי הנבנה באופן זה הוא דזרגי. לפי המשפט היסודי הראשון של הגאומטריה הפרויקטיבית, כל מרחב פרויקטיבי דזרגי הוא מהצורה \ \mathbb{P}V עבור מרחב וקטורי שמאלי V מעל חוג עם חילוק. (בהינתן מרחב פרויקטיבי דזרגי, שדה הסקלרים D מתקבל כאוסף ההומולוגיות של תת-מרחב אפיני מתאים, שהמרכז שלהן הוא נקודה קבועה). ההוכחה של המשפט היסודי אינה קלה, אבל הרעיון המרכזי פשוט למדי. בהינתן המרחב הפרויקטיבי P, מסירים ממנו על-מישור כדי לקבל מרחב אפיני A, בו בוחרים נקודת אפס ומגדירים פעולת חיבור על ידי פעולות ההזזה (המתחלפות זו עם זו). אוסף ההומולוגיות של A, ביחס לנקודת המרכז 0, ויחד עם העתקת האפס (המכווצת את המרחב לנקודה), מהווה חוג עם חילוק D ש-A מרחב וקטורי מעליו.

המרחב הפרויקטיבי \ \mathbb{P}V, כאשר V מרחב וקטורי מעל שדה הסקלרים D (חוג עם חילוק, כאמור), מקיים את משפט פפוס אם ורק אם D הוא שדה (קומוטטיבי). התאמה זו בין תכונה אלגברית של שדה הסקלרים לבין התכונות הגאומטריות של המרחב הווקטורי, הייתה אחד הגורמים הראשונים לפיתוחה של תורת הזהויות של חוגים.

טרנספורמציות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי V מרחב וקטורי מעל חוג עם חילוק D. כל העתקה לינארית הפיכה \ t : V \rightarrow V משרה קולינאציה של \ \mathbb{P}V (קולינאציה היא העתקה הפיכה של הנקודות, המעבירה ישר לישר). שתי העתקות לינאריות משרות את אותה קולינאציה אם ורק אם אחת מהן מתקבלת מהשנייה על ידי כפל משמאל באיבר מרכזי של D. את חבורת ההעתקות המתקבלות באופן הזה מסמנים ב-\ \operatorname{PGL}(V) = \operatorname{Cent}(D)^\times\backslash\!\operatorname{GL}(V) (אם D הוא שדה, הסימון מתלכד עם הסימון המקובל לחבורה הלינארית הפרויקטיבית).

אם \ V = D^{d+1}, כך ש-\ \mathbb{P}V = \mathbb{P}D^{d+1} הוא מרחב פרויקטיבי d-ממדי, אז חבורת הקולינאציות \ \operatorname{PGL}(V) =\operatorname{PGL}_{d+1}(D) פועלת טרנזיטיבית על החדרים של המרחב (חדר הוא דגל מקסימלי, כלומר שרשרת של תת-מרחבים בממדים \ 0,1,\dots,d-1). בדומה לזה, החבורה \ \operatorname{PGL}_{d+1}(D) פועלת טרנזיטיבית על התבניות של המרחב (תבנית, frame, היא קבוצה של d+2 נקודות שכל d+1 מהן מהוות בסיס למרחב הפרויקטיבי); ואם D שדה (קומוטטיבי), אז הפעולה הזו היא חדה.

כדי לקבל את כל הקולינאציות של \ \mathbb{P}V, יש להכליל את חבורת ההעתקות הלינאריות להעתקות לינאריות למחצה: העתקה אדיטיבית \ \alpha : V \rightarrow V היא לינארית למחצה אם יש אוטומורפיזם \ \sigma : D \rightarrow D כך ש-\ \alpha(\lambda v) = \sigma(\lambda)\alpha(v). את חבורת ההעתקות הלינאריות למחצה מסמנים ב-\ G\Gamma(V), וכמו במקרה של העתקות לינאריות, \ \operatorname{P\Gamma{}L}(V) = \operatorname{Cent}(D)^\times\backslash\!\operatorname{G\Gamma}(V). המשפט היסודי השני של הגאומטריה הפרויקטיבית קובע שחבורת הקולינאציות של \ \mathbb{P}V היא \ \operatorname{P\Gamma{}L}(V).

דואליות ופולריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם P הוא מרחב פרויקטיבי מהצורה \ \mathbb{P}V, כאשר V מרחב וקטורי שמאלי מעל חוג עם חילוק D, אז המרחב הדואלי של P הוא המרחב הפרויקטיבי \ \mathbb{P}(V^*), כאשר \ V^* = \operatorname{Hom}(V,D) הוא המרחב הדואלי של V, המהווה מודול שמאלי מעל החוג המנוגד \ D^{\operatorname{op}}.

במרחבים פרויקטיביים המתוארים על ידי קואורדינטות הומוגניות, אפשר לתאר את כל הדואליוֹת והפולריוֹת באמצעות תבניות בילינאריות והכללות שלהן, באופן הבא. תבנית ססקווילינארית של V היא פונקציה בי-אדיטיבית \ f : V \times V \rightarrow D המקיימת \ f(ax,y) = a f(x,y) ו-\ f(x,ay) = f(x,y)\sigma(a), כאשר \ \sigma : D \rightarrow D הוא אנטי-אוטומורפיזם. כל תבנית כזו מגדירה דואליות על המרחב \ \mathbb{P}V, לפי \ \delta(\langle v \rangle ) = \{w \in V : f(v,w) =0\}. כל דואליות של \ \mathbb{P}V מוגדרת באופן כזה.

לפי משפט בירקהוף--פון נוימן, כל פולריות של \ \mathbb{P}V מוגדרת כמתואר לעיל, כאשר התבנית f היא סימטרית או אנטי-סימטרית ביחס לזהות, או הרמיטית או אנטי-הרמיטית ביחס ל-\ \sigma שהיא אינוולוציה של D.

מרחבים פרויקטיביים ממשיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

אינטואיציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

במקרה החד-ממדי, המרחב מכונה ישר פרויקטיבי ממשי. מבחינה אינטואיטיבית נתן להתייחס אליו כישר בגאומטריה הרגילה, בתוספת נקודה מיוחדת, הנקראת הנקודה באינסוף, שאינה שוכנת על הישר, אלא כביכול בשני קצותיו (\ +\infty ו-\ -\infty ). הנקודה באינסוף מעניקה לכל ישר פרויקטיבי מבנה של מעגל: ישר כזה כולל את הישר המתאים מן המישור הרגיל, בתוספת נקודת האינסוף, שאינה שוכנת על הישר. בניגוד לגישה באנליזה, , ונקודת האינסוף ממלאת את שני התפקידים בו-זמנית.

במקרה הדו-ממדי, אנו עוסקים במישור פרויקטיבי ממשי, הבנוי מאוסף אינסופי של ישרים פרויקטיביים (בהקבלה למישור הממשי הרגיל הבנוי מאוסף של ישרים). כל ישר פרויקטיבי, כאמור, מורכב מישר רגיל ונקודת אינסוף. אולם, במישור הפרויקטיבי הממשי, נקודת האינסוף של כל קבוצת ישרים מקבילים היא משותפת. כך, לכל כיוון ישנה נקודת אינסוף, בה נפגשים כל הישרים שהם בעלי שיפוע מסוים. כלומר, בהינתן \ a \in \R כלשהו, קבוצת כל הישרים שמשוואתם היא \ \{y=ax+b | b \in \R\} , מגדירה נקודת אינסוף בכיוון זה. באופן זה נקבל שכל שני ישרים במישור הפרויקטיבי נפגשים: ישרים בעלי שיפוע שונה נפגשים בנקודה סופית, רגילה, וישרים בעלי אותו שיפוע נפגשים בנקודה אינסופית. על מנת להשלים את הבניה, ובכדי שבין כל זוג נקודות יעבור ישר, נוסיף את "ישר האינסוף", שהוא ישר מיוחד המורכב מאוסף כל נקודות האינסוף.


הישר הפרויקטיבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

איור 1

הטלה מרכזית (perspective projection, הטלה פרספקטיבית) היא העתקה המעבירה נקודה אחת לנקודה שנייה ביחס לנקודת מוקד. על מנת לבצע הטלה מרכזית יש לבחור נקודת מוקד וטווח אליו תועתקנה הנקודות. בהינתן נקודה x במרחב, נבחר את הישר המחבר אותה לנקודת המוקד (ישנו ישר יחיד כזה) ונחתוך אותו עם הטווח שלנו. נקודת החיתוך, אם ישנה כזו, היא התמונה של x. בהנחות היסוד לגבי ציור בפרספקטיבה, הציור הוא הטלה פרספקטיבית של העצם המצויר. עינו של הצייר היא מוקד ההטלה ובד הציור הוא הטווח אליו מוטל מושא הציור. מסיבה זו, נהוג להתייחס לישרים העוברים בנקודת המוקד כ"כיוונים" אליהם מסתכלת נקודת המוקד.

הישר הפרויקטיבי (פרויקציה = הטלה) זכה בשמו בשל ההתאמה בין הנקודות שעליו, לכיוון ממנו רואים אותן מנקודה קבועה. לשם הפשטות, נגדיר נקודת מוקד בראשית הצירים \ (0,0) ונגדיר את הישר \ L=\{(1,y): y\in \mathbb{R}\} להיות טווח ההטלה. נטיל את הנקודה \ P=(3,3) אל \ L ביחס לראשית הצירים.

לשם כך, עלינו לחבר את הנקודה \ P עם ראשית הצירים, על ידי הישר (הכיוון) \ L_1 . נקודת החיתוך של \ L_1 עם \ L היא בנקודה \ (1,1) , וזוהי תוצאת ההטלה. באופן זה ניתן להטיל כל נקודה \ \{(x,y) | x \neq 0 \} במישור הממשי אל הטווח \ L , והיא תוטל ל-\ (1,{y \over\ x}) . את הנקודות שבכיוון הציר האנכי לא נוכל להטיל אל הטווח \ L . לשם כך אנו מוסיפים לטווח את נקודת האינסוף, המייצגת הסתכלות מנקודת המוקד בכיוון המקביל לישר \ L . כך קבלנו התאמה בין ישר פרויקטיבי ובין אוסף כל כיווני המבט מנקודה קבועה.

המישור הפרויקטיבי[עריכת קוד מקור | עריכה]

איור 2

המרחב הפרויקטיבי \ \mathbb{PR}^2 מוגדר באופן דומה. נגדיר שוב את ראשית הצירים של המרחב האוקלידי התלת-ממדי כמוקד ההטלה, ונגדיר את העל-מישור \ H:=\{(x,y,1) | x,y \in\ R\} כטווח ההטלה. שוב, כל נקודה \ \{(x,y,z) | z \neq 0\ \} תוטל אל \ ({x \over z}, {y \over z}, 1) \in\ H\ . כך, כל כיוון שאליו מביטים מראשית הצירים יחתך עם \ H , להוציא המישור \ I:=\{(x,y,0) | x,y \in\ R\} . לכן, כל כיוון \ L_a:=\{(x,ax,0) | x \in\ R\} המוכל במישור \ I יגדיר נקודות אינסוף במישור הפרויקטיבי.

סך הכל קבלנו כי המישור הפרויקטיבי מכיל מישור ממשי וקבוצה של נקודות אינסוף. בערך המורחב מוצגות תכונות של הצגה זו. בפרט מוכח שהגדרה זו מקיימת את האקסיומה המרכזית של המישור הפרויקטיבי. כלומר, שכל שני ישרים במישור הפרויקטיבי נפגשים בנקודה יחידה.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]