קומפקטיות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

בטופולוגיה, מושג הקומפקטיות נועד להכליל את התכונות הטובות של קטעים סגורים וחסומים על הישר הממשי, כדוגמת הקטע $\ [0,1]=\{x: 0\leq x \leq 1\}$ . כדי להגדיר את המושג 'קטע' נזקקים ליחס הסדר או המטריקה של הישר הממשי. ההכללה מתאפשרת בזכות העובדה שקומפקטיות מוגדרת במונחים של קבוצות פתוחות, וההגדרה תקפה בכל מרחב טופולוגי (ובפרט בכל מרחב מטרי).

קומפקטיות היא תכונה בעלת חשיבות יסודית באנליזה מתמטית, משום שהמשפטים החשובים הנוגעים לפונקציות רציפות בקטע סגור, כגון משפט קנטור על רציפות במידה שווה ומשפטי ויירשטראס, תקפים גם עבור פונקציות ממשיות שהן רציפות בקבוצה קומפקטית.

במרחב מטרי, כל קבוצה קומפקטית היא סגורה וחסומה. משפט היינה-בורל קובע שבמרחבים האוקלידיים $\ \mathbb{R}^n$ , גם ההיפך נכון: כל קבוצה סגורה וחסומה במרחב כזה היא קומפקטית.

תוכן עניינים

1 כיסויים וקומפקטיות
- 1.1 תכונות קרובות
- 1.2 קומפקטיות סדרתית
2 תכונות של קבוצות קומפקטיות
3 קומפקטיות ופונקציות רציפות

[עריכה] כיסויים וקומפקטיות

כיסוי פתוח של קבוצה K במרחב טופולוגי הוא אוסף של קבוצות פתוחות, שהקבוצה K מוכלת באיחוד שלהן. במלים אחרות, כל נקודה של K שייכת לאחת הקבוצות באוסף. אם אוסף קטן יותר מהווה כיסוי של אותה קבוצה K, הוא נקרא תת כיסוי.

קבוצה קומפקטית היא קבוצה בעלת התכונה הבאה: לכל כיסוי פתוח של הקבוצה, קיים תת כיסוי סופי. לדוגמה, כל קבוצה סופית היא קומפקטית, ובמידת מה אפשר לחשוב על הקומפקטיות כעל הכללה טופולוגית של מושג הסופיות; הקבוצות הקומפקטיות הן 'הקבוצות הקטנות' של המרחב הטופולוגי. אם המרחב הטופולוגי כולו מקיים את התכונה הזו, הוא נקרא מרחב קומפקטי.

כמו כן, מרחב מטרי הוא קומפקטי אם ורק אם לכל קבוצה אינסופית יש נקודת הצטברות.

[עריכה] תכונות קרובות

אפשר לפרק את תכונת הקומפקטיות לשני מרכיבים חלשים יותר. קבוצה מקיימת את תכונת לינדלוף אם לכל כיסוי אינסופי שלה יש תת כיסוי בן מנייה; וקבוצה נקראת קומפקטית מנייתית אם לכל כיסוי בן מנייה שלה, יש תת כיסוי סופי. כמובן, קבוצה קומפקטית מקיימת את שתי התכונות האלה. באופן יותר כללי, בהינתן מונה k, נאמר שמרחב טופולוגי הוא k-קומפקטי אם לכל כיסוי פתוח שלו יש תת כיסוי שעוצמתו קטנה ממש מ k.

בעזרת הדואליות בין קבוצות פתוחות וקבוצות סגורות, אפשר לנסח את תכונת הקומפקטיות גם באופן הבא: במרחב קומפקטי, אם אוסף של קבוצות סגורות מקיים את תכונת החיתוך הסופי (החיתוך של כל מספר סופי של קבוצות מהמשפחה אינו ריק), אז גם החיתוך של המשפחה כולה אינו ריק.

בספרים אחדים (במיוחד בתחום הגאומטריה האלגברית) מייעדים את התואר 'קומפקטי' רק למרחבי האוסדורף, אולם זוהי הגדרה פחות מקובלת של המושג. בספרים אלו מרחב שהוא קומפקטי ואינו האוסדורף נקרא קוואזי-קומפקטי.

[עריכה] קומפקטיות סדרתית

אחת התכונות החשובות של קבוצות קומפקטיות במרחבים מטריים מתוארת במשפט בולצאנו-ויירשטראס: לכל סדרה בקבוצה קומפקטית יש תת-סדרה מתכנסת. קבוצה המקיימת תכונה זו נקראת קבוצה קומפקטית סדרתית. במרחב מטרי התכונה שקולה לקומפקטיות במונחי הכיסויים הפתוחים, אבל במרחבים טופולוגיים כלליים אלו שתי תכונות שונות, שאינן גוררות זו את זו בהכרח.

העובדה שלכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת מבטיחה שמרחב מטרי קומפקטי הוא שלם (שהרי סדרת קושי שיש לה תת-סדרה מתכנסת, היא בעצמה סדרה מתכנסת).

[עריכה] תכונות של קבוצות קומפקטיות

במרחב האוסדורף, כל קבוצה קומפקטית היא סגורה.

הוכחה: תהי $\,K$ קבוצה קומפקטית ותהי $\,a$ נקודה מחוץ ל- $\,K$ . מספיק להראות שקיימת קבוצה פתוחה המכילה את $\,a$ וזרה ל- $\,K$ . תכונת ההפרדה $\,T_2$ מבטיחה שלכל נקודה $x\in K$ קיימות קבוצות פתוחות זרות $\ U_x$ ו- $\ V_x$ , כך ש- $\ x\in U_x$ ו- $\ a\in V_x$ . האוסף $\ \{U_x\}_{x\in K}$ מהווה כמובן כיסוי פתוח של $\,K$ , ולפי הקומפקטיות יש לו תת כיסוי סופי $\ U_{x_1},\dots,U_{x_n}$ . החיתוך $\ V_{x_1}\cap V_{x_2}\cap \dots \cap V_{x_n}$ הוא קבוצה פתוחה המכילה את $\,a$ וזרה ל- $\,K$ .

קבוצה סגורה במרחב קומפקטי היא קומפקטית.

הוכחה: תהי $\ K$ סגורה במרחב $\ X$ , ויהיה $\ \{O_\alpha\}$ כיסוי פתוח של $\ K$ , אז $\ \{O_\alpha\} \bigcup \{ K^c \}$ הוא כיסוי פתוח של $\ X$ ולכן יש לו תת כיסוי סופי, שהוא בפרט תת כיסוי סופי של $\ K$ .

מסקנה: במרחב האוסדורף קומפקטי, קבוצה היא קומפקטית אם ורק אם היא סגורה. מתכונה זו ניתן להראות שמרחב שהוא האוסדורף קומפקטי נמצא ב"שיווי משקל" מבחינת גודל הטופולוגיה שלו. כל טופולוגיה עדינה יותר אינה קומפקטית (כי היא מכילה קבוצה סגורה שאינה קומפקטית) וכל טופולוגיה גסה יותר אינה האוסדורף (כי היא מכילה קבוצה קומפקטית שאינה סגורה).

במרחב מטרי, כל קבוצה קומפקטית היא חסומה, ואפילו חסומה כליל.

הוכחה: נבחר נקודה $\ x_0$ כלשהי, אז הכדורים הפתוחים $\ B(x_0,n)$ מהווים כיסוי פתוח של הקבוצה, שיש לו תת כיסוי סופי.

מרחב מטרי הוא קומפקטי אם ורק אם הוא שלם וחסום כליל.
מרחב מטרי קומפקטי הוא ספרבילי.
מרחב שהוא קומפקטי והאוסדורף הוא גם מרחב נורמלי.
משפט טיכונוף אומר כי מרחב מכפלה הוא קומפקטי אם ורק אם כל רכיביו קומפקטיים.

[עריכה] קומפקטיות ופונקציות רציפות

המשפט היסודי בעניין זה הוא:

תמונה רציפה של קבוצה קומפקטית היא קומפקטית.

כלומר, אם $\ X,Y$ מרחבים טופולוגיים ו- $\ f:X\rightarrow Y$ פונקציה רציפה, ו- $\ K \subseteq X$ קומפקטית, אז $\ f(K)$ קומפקטית. ההוכחה קלה מאד: אם $\ \{U_{\alpha}\}$ כיסוי פתוח של $\ f(K)$ , אז $\ \{f^{-1}(U_{\alpha})\}$ כיסוי פתוח של K, ולכן יש לו תת כיסוי סופי, שתמונתו תחת $\ f$ היא תת כיסוי סופי של $\ f(K)$ .