מרחב קומפקטי מקומית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

מרחב קומפקטי מקומית הוא מרחב טופולוגי שבו לכל נקודה קיימת סביבה פתוחה בעלת סגור קומפקטי. תכונה זו מתקיימת באופן אוטומטי בכל מרחב טופולוגי קומפקטי, אם כי ישנם מרחבים קומפקטיים מקומית שאינם קומפקטיים (כגון הישר הממשי). לעתים קרובות, תכונת הקומפקטיות המקומית מאפשרת לטפל במרחב, העשוי להיות ענק ומסובך, בכלים המתאימים למרחבים קומפקטיים. מנקודת מבט זו, הקומפקטיות המקומית מהווה פשרה בין דרישת הקומפקטיות, העשויה להיות חזקה מדי, לבין שימור ההתנהגות הקומפקטית בסביבה קרובה של כל נקודה.

ניסוחים שקולים[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב הוא קומפקטי מקומית אם קיים עבורו כיסוי פתוח בו כל קבוצה היא בעלת סגור קומפקטי. אפשר לחשוב על תכונה זו כעל האפשרות לפרק את המרחב לחלקים, אולי חופפים חלקית, כך שכל אחד מהם קומפקטי.

עבור מרחבים טופולוגיים כלליים שאינם מרחבי האוסדורף קיימות הגדרות שונות בספרות וההגדרה המקובלת (בוויקיפדיה) היא: מרחב טופולוגי הוא קומפקטי מקומית אם בכל נקודה קיים בסיס מקומי המורכב מקבוצות קומפקטיות.

דוגמאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

בנוסף לישר הממשי שהוזכר לעיל, כל מרחב אוקלידי הוא קומפקטי מקומית.

הספירה הדו-ממדית היא מרחב קומפקטי (כי היא קבוצה סגורה וחסומה במרחב התלת-ממדי). אם נוציא ממנה נקודה אחת היא כבר לא תהיה קומפקטית, אך היא תישאר קומפקטית מקומית. במקרה הזה המרחב הטופולוגי שנותר הומאומורפי למישור.

תכונות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קומפקטיות מקומית היא "תכונה תורשתית", כלומר על כל קבוצה פתוחה או סגורה במרחב המקורי הטופולוגיה המושרית היא בעלת התכונה קומפקטיות מקומית. היא איננה תכונה תורשתית במובן הרגיל (כלומר לא לכל תת-קבוצה, הטופולוגיה המושרית עליה היא קומפקטית מקומית).

מרחב האוסדורף קומפקטי מקומית הוא מרחב רגולרי (לעומת זאת מרחב האוסדורף קומפקטי הוא מרחב נורמלי).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • דניאלה ליבוביץ, טופולוגיה קבוצתית, פרק 7 (כרך ג'), הוצאת האוניברסיטה הפתוחה, 1997.
P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.