מרחב שרפינסקי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, מרחב שרפינסקי הוא מרחב טופולוגי בעל שני איברים. חשיבותו בהיותו דוגמה נגדית פשוטה לטענות רבות בטופולוגיה. זוהי הטופולוגיה הקטנה ביותר שאינה טריוויאלית או דיסקרטית.

המרחב נקרא על שם המתמטיקאי הפולני ואצלב שרפינסקי.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב שרפינסקי הוא הקבוצה X=\{ a,b\} יחד עם הטופולוגיה \tau=\{ \phi ,\{ a\} ,\{ a,b\} \} . בדיקה ישירה של כל האפשרויות לאיחוד וחיתוך מראה שזהו אכן מרחב טופולוגי.

שלוש הטופולוגיות האפשריות האחרות על X=\{ a,b\} הן הטופולוגיה הטריוויאלית, הטופולוגיה הדיסקרטית והטופולוגיה \tau=\{ \phi ,\{ b\} ,\{ a,b\} \} שהומאומורפית למרחב שרפינסקי.

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

הכללה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להכליל את המרחב הנ"ל לכל קבוצה לא ריקה X, כאשר בהינתן a \in X מגדירים את הטופולוגיה T=\{ \phi ,\{ a\} ,X\} . מרחב זה מקיים חלק מן התכונות דומות שהובאו לעיל.

כמות המרחבים הללו היא כעוצמת הקבוצה X, אך כולם הומיאומורפיים.