מרחב (CAT(0

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, מרחב (CAT(0 הוא מרחב מטרי שהמשולשים שלו "דקים" כמו המשולשים במישור האוקלידי, או יותר. המרחב האוקלידי, בכל ממד, הוא מרחב (CAT(0. למרחבים כאלה יש עקמומיות 0 לכל היותר, בכל נקודה, והם תמיד כוויצים.

ראו גם מרחב (CAT(k, למושג הכללי יותר.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

משולש גאודזי במרחב גאודזי X מקיים את "תנאי \ \mbox{CAT}(0)", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות שלו קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש במישור האוקלידי, בעל אותם ארכי צלעות.

כל מרחב \ \mbox{CAT}(k), עם k שלילי, הוא \ \mbox{CAT}(0); וכל מרחב \ \mbox{CAT}(0) הוא מרחב \ \mbox{CAT}(k) לכל k חיובי.

מרחבי הדמר[עריכת קוד מקור | עריכה]

מרחב \ \mbox{CAT}(0) שלם נקרא מרחב הדמר. התכונה הבולטת של מרחבי הדמר היא שפונקציות המרחק שלהם קמורות: אם \ \gamma_1,\gamma_2 : [a,b] \rightarrow X הן שתי מסילות גאודזיות, אז הפונקציה \ f(t) = d(\gamma_1(t),\gamma_2(t)) קמורה כפונקציה של t. (ראו גם משפט קרטן-הדמר).

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

לתכונות מקומיות ראו מרחב (CAT(k.

מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב \ \mbox{CAT}(0) הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות.

מרחב \ \mbox{CAT}(0) הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי \ \mathbb{R}^2 (עם המטריקה הרגילה).

חבורות (CAT(0[עריכת קוד מקור | עריכה]

חבורה הפועלת באופן איזומטרי וקו-קומפקטי על מרחב \ \mbox{CAT}(0) הגון (כזה שבו כל הכדורים הסגורים קומפקטיים) נקראת "חבורת \ \mbox{CAT}(0)". חבורה כזו היא מוצגת סופית, ויש בה פתרון לבעיית המלה ובעיית ההצמדה. יש בה מספר סופי של מחלקות צמידות של תת-חבורות סופיות. כל תת-חבורה פתירה של חבורת \ \mbox{CAT}(0) היא דמוית-\ \mathbb{Z}^n.

מכפלה ישרה של חבורות \ \mbox{CAT}(0) היא חבורת \ \mbox{CAT}(0). מכפלה חופשית של שתי חבורות \ \mbox{CAT}(0) עם התכה לאורך תת-חבורות שהן דמויות-\ \mathbb{Z}, היא \ \mbox{CAT}(0). הרחבת HNN של חבורת \ \mbox{CAT}(0) ביחס לחבורה סופית, היא \ \mbox{CAT}(0).

חבורות קוקסטר הן \ \mbox{CAT}(0).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]