מרחב (CAT(k

במתמטיקה, מרחבי (CAT(k הם מרחבים מטריים מטיפוס מיוחד: המשולשים שלהם "דקים" יותר ממשולשי-ההשוואה במרחב סטנדרטי בעל עקמומיות קבועה k. העקמומיות של מרחבי $\ {\mbox{CAT}}(k)$ היא לכל היותר k בכל נקודה. את המונח $\ {\mbox{CAT}}(k)$ טבע מיכאיל גרומוב ב-1987, כראשי-תיבות של המתמטיקאים אלי קרטן (C), אלכסנדר אלכסנדרוב (A) וויקטור אנדרייביץ' טופונוגוב (T).

ההפרדה האמיתית היא בין המקרים k<0, k=0 ו- k>0, מכיוון שמרחבי $\ {\mbox{CAT}}(k)$ אפשר לכייל למרחבי $\ {\mbox{CAT}}(k')$ אם לשני הפרמטרים k ו- 'k אותו סימן. מרחבי (CAT(0 שלמים קרויים גם "מרחבי הדמר", על-שם המתמטיקאי הצרפתי ז'אק אדמר.

הגדרות

מרחבי המודל

עבור מספר ממשי k, מסמנים ב- $\ M_{k}$ את המשטח היחיד שהוא פשוט קשר בעל עקמומיות קבועה k. לדוגמה, $\ M_{0}$ הוא המישור האוקלידי $\ \mathbb {R} ^{2}$ עם המטריקה הרגילה שלו; $\ M_{1}$ הוא ספירת היחידה במרחב האוקלידי התלת-ממדי, ו- $\ M_{-1}$ הוא המישור ההיפרבולי.

אם k>0, הקוטר של המרחב הוא $\ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}$ (אחרת הקוטר אינסופי).

משולשי השוואה

נקבע k ממשי. נניח ש- X הוא מרחב מטרי ו- T משולש שקודקודיו p,q,r; אם k>0, נניח שקוטר המשולש אינו עולה על $\ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}$. אז קיים ב-$\ M_{k}$ משולש יחיד, עד כדי איזומטריה, שבו המרחקים בין הקודקודים שווים לאלה של T. משולש זה נקרא משולש ההשוואה של T.

תנאי $\ {\mbox{CAT}}(k)$

משולשים טיפוסיים במרחבים בעלי עקמומיות חיובית (למעלה) ,שלילית (באמצע) ואפס (למטה)

נניח ש-$\ (X,d)$ הוא מרחב גאודזי, כלומר, מרחב מטרי שבו יש מסילה גאודזית המחברת כל שתי נקודות (מסילה גאודזית היא פונקציה $\ \gamma :[a,b]\rightarrow X$, כאשר $\ [a,b]$ הוא קטע על הישר הממשי, והמרחק מקיים $\ d(\gamma (t),\gamma (s))=|t-s|$ לכל $\ a\leq t\leq s\leq b$). אומרים שמשולש גאודזי D במרחב X (משולש שצלעותיו הן מסילות גאודזיות המחברות את הקודקודים) מקיים את "תנאי $\ {\mbox{CAT}}(k)$", אם המרחק בין כל שתי נקודות על הצלעות של D קטן או שווה למרחק בין הנקודות המתאימות על משולש ההשוואה שלו, 'D במרחב $\ M_{k}$.

המרחב X נקרא מרחב $\ {\mbox{CAT}}(k)$, אם כל משולש גאודזי (שקוטרו, אם k>0, אינו עולה על $\ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}$), מקיים את תנאי $\ {\mbox{CAT}}(k)$. אומרים שמרחב מטרי (אפילו אם אינו גאודזי) הוא "בעל עקמומיות k לכל היותר", אם לכל נקודה שלו יש סביבה קמורה-גאודזית (סביבה הכוללת עם כל שתי נקודות גם קו גאודזי המחבר אותן), המקיימת את תנאי $\ {\mbox{CAT}}(k)$. מרחב בעל עקמומיות 0 לכל היותר הוא "מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית".

התנאי $\ {\mbox{CAT}}(k)$ הולך ומתחזק כאשר k מקבל ערכים נמוכים יותר: אם $\ k<k'$, אז כל מרחב $\ {\mbox{CAT}}(k)$ הוא גם מרחב $\ {\mbox{CAT}}(k')$. מאידך התכונה סגורה במובן הבא: מרחב שהוא $\ {\mbox{CAT}}(k')$ לכל $\ k<k'$, הוא גם $\ {\mbox{CAT}}(k)$.

דוגמאות

המרחב $\ M_{k}$ הוא $\ {\mbox{CAT}}(k)$.

המרחב האוקלידי $\ \mathbb {E} ^{n}$ (מכל ממד) הוא $\ {\mbox{CAT}}(0)$. המרחב ההיפרבולי $\ \mathbb {H} ^{n}$ (מכל ממד) הוא $\ {\mbox{CAT}}(-1)$. ספירת היחידה $\ \mathbb {S} ^{n}$ (בכל ממד) היא $\ {\mbox{CAT}}(1)$ (אבל לא $\ {\mbox{CAT}}(0)$). ספירה ברדיוס r (ולכן מעקמומיות $\ {\frac {1}{\sqrt {r}}}$) היא $\ {\mbox{CAT}}({\frac {1}{\sqrt {r}}})$. כל מרחב נורמי המקיים איזשהו תנאי $\ {\mbox{CAT}}(k)$ הוא מרחב מכפלה פנימית.

אם מנקבים את המישור האוקלידי בנקודה, המרחב הנותר אינו גאודזי, ולכן אינו $\ {\mbox{CAT}}(0)$. מאידך, לכל נקודה יש סביבה קמורה-גאודזית שהיא $\ {\mbox{CAT}}(0)$, ולכן המישור המנוקב הוא מרחב בעל עקמומיות שאינה חיובית.

עץ הוא מרחב $\ {\mbox{CAT}}(k)$ לכל k.

כל מרחב $\ {\mbox{CAT}}(k)$, עבור k<0, הוא מרחב $\ {\mbox{CAT}}(0)$. בפרט, מרחבים כאלו הם כוויצים.

תכונות של מרחבי $\ {\mbox{CAT}}(k)$

יהי X מרחב $\ {\mbox{CAT}}(k)$.

תכונות מקומיות

• בין כל שתי נקודות (ממרחק שאינו עולה על $\ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}$ אם k>0) מחברת מסילה גאודזית יחידה. יתרה מזו, המסילה משתנה באופן רציף עם שינוי נקודות הקצה שלה.
• כל עקום (שאורכו אינו עולה על $\ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}$ אם k>0), שהוא גאודזי-מקומית, הוא עקום גאודזי.
• כדור פתוח (ברדיוס שאינו עולה על $\ {\frac {1}{2}}{\frac {\pi }{\sqrt {k}}}$ אם k>0) הוא קמור-גאודזית.
• כדורים (שרדיוסם אינו עולה על $\ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}$ אם k>0) הם כוויצים.
• נקודות שאינן רחוקות משני קצות קטע, קרובות לאמצע הקטע, במובן הבא: לכל a (שאינו עולה על $\ {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}$ אם k>0) ולכל $\ \epsilon >0$ קיים $\ \delta >0$, כך שאם m היא נקודת האמצע של העקום הגאודזי המחבר את הנקודות x ו-y, אז כל נקודה שמרחקה מ-x ומ-y אינו עולה על $\ {\frac {1}{2}}d(x,y)+\delta$, נמצאת במרחק $\ \epsilon$ לכל היותר מ-m.

מרחב הכיסוי האוניברסלי

• מתכונות אלה נובע שאם $\ k\leq 0$, מרחב הכיסוי האוניברסלי של מרחב $\ {\mbox{CAT}}(k)$ הוא כוויץ. בפרט, חבורות ההומוטופיה, מן השנייה ואילך, הן טריוויאליות. הספירות $\ \mathbb {S} ^{n}$ מראות שתכונות אלה אינן מתקיימות כאשר k>0. למעשה, מרחב הכיסוי האוניברסלי של כל מרחב בעל עקמומיות שאינה עולה על k (כאשר k שלילי) הוא מרחב $\ {\mbox{CAT}}(k)$.

היפרבוליות

כל מרחב $\ {\mbox{CAT}}(k)$ (עבור $\ k<0$) הוא מרחב היפרבולי. מרחב $\ {\mbox{CAT}}(0)$ הוא היפרבולי אם ורק אם אין לו תת-מרחב איזומטרי למישור האוקלידי $\ \mathbb {R} ^{2}$ (עם המטריקה הרגילה).

ראו גם

• מרחב (CAT(0