מרכז (תורת החבורות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת החבורות מרכז החבורה G היא קבוצת כל האיברים, שמתחלפים עם כל איברי G: \ Z(G)=\{z\in G| gz=zg\  \forall g\in G\} . המרכז הוא תמיד תת חבורה נורמלית ואבלית של G.

אם G היא חבורה אבלית אז מרכז החבורה הוא כל החבורה. מצד שני, חבורה נקראת חסרת מרכז אם \ Z(G)=\{e\} (המרכז תמיד מכיל את איבר היחידה של החבורה, ולכן הוא אינו יכול להיות ריק).

נתבונן בהומומורפיזם \varphi מהחבורה G לחבורת האוטומורפיזמים שלה \varphi : G \to \operatorname{Aut}(G) המוגדר לפי \ (\varphi(g))(h)=ghg^{-1}. הגרעין של ההעתקה, כלומר כל איברי G שעוברים לאוטומורפיזם הזהות, הוא המרכז של G, והתמונה \varphi(G) היא חבורה הנקראת חבורת האוטומורפיזמים הפנימית של G, ומסומנת \operatorname{Inn}(G). לפי משפט האיזומורפיזם הראשון \ G/Z(G)\cong \operatorname{Inn}(G). לפעמים מסומנת חבורה זו גם כ-G^{\mathrm{ad}} = G/Z(G)

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]