משוואה דיפרנציאלית חלקית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית

קפיצה אל: ניווט, חיפוש
יש לשכתב ערך זה
הסיבה לכך: הערך נראה יותר כמו רשימה מערך אנציקלופדי, ואינו מובן למי שאינו בקיא מראש בחומר. יש לפרט ולהרחיב. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

במתמטיקה, משוואה דיפרנציאלית חלקית (או מד"ח), היא משוואה פונקציונלית הקושרת בין פונקציה בשני משתנים בלתי תלויים או יותר, לבין נגזרותיה החלקיות, כאשר הפונקציה היא הנעלם. להבדיל ממשוואה דיפרנציאלית רגילה (או מד"ר), הקושרת בין פונקציה במשתנה יחיד לנגזרותיה. מד"ח כללית היא מהצורה \ F(u, x_1, x_2,..., x_n, u_{x_1}, u_{x_2},..., u_{x_n}) = 0 כאשר \ x_i הם המשתנים הבלתי תלויים ו-\ u היא הפונקציה הנעלמת.

  • הערה: כמקובל בספרות העוסקת במשוואות דיפרנציאליות חלקיות, כאן ולאורך המאמר משמעות הסימון \ u_x משמעותו \ \frac{\partial u}{\partial x}, ובהתאם \ u_{xy}\equiv \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}, וכן הלאה.

תוכן עניינים

[עריכה] תיאור תופעות פיזיקליות באמצעות מד"ח

המשוואות החלקיות מחולקות לפי קבוצות, בהתאם לתופעה אותה הן מתארות:

  • משוואת הגלים (בדו מימד): \ u_{tt} - v^2 (u_{xx} + u_{yy}) = 0 כאשר u היא משרעת הגל במקום x,y בזמן t, ו-v היא מהירות התקדמות הגל.
  • משוואת החום: \ u_t - k \Delta u = 0 כאשר \ u(x,y,z,t) היא הטמפרטורה בנקודה כלשהי בזמן t, ו-k הוא מקדם הולכת החום. נקראת גם משוואת הדיפוזיה.
  • גלי הלם (משוואת אוילר): \ u_t+uu_x=0 כאשר u מתארת התנהגות ריכוז המסה בזמן, והמהירות תלויה בריכוז המסה.
  • משוואת לפלס: \ \Delta u = 0 . פונקציה המקיימת את משוואת לפלס נקראת פונקציה הרמונית.
  • משוואת שרדינגר: \ i \psi_t + \Delta \psi + V \psi = 0 כאשר \ \psi (x,y,z,t) היא פונקציית הגל של חלקיק קוונטי וV היא פונקציית הפוטנציאל של החלקיק.

[עריכה] מיון משוואות לינאריות מסדר שני

תופעות רבות בטבע ניתנות לתאור על ידי משוואות לינאריות עם נגזרות עד סדר שני, בהצגת המשוואות באופן הבא: \ A(x,y)u_{xx}+B(x,y)u_{xy}+C(x,y)u_{yy}+D(x,y)u_x+E(x,y)u_y+Fu=G(x,y). ניתן למיין משוואות אלו לפי ערך הביטוי \ B^2-4AC: המשוואה היא מסוג היפרבולי כאשר הביטוי חיובי, מסוג פרבולי כאשר הביטוי מתאפס, ומסוג אליפטי כאשר הביטוי שלילי. סיבת חלוקה שכזו מובנת כאשר \ A, B, C, D, E, F הם קבועים, ו- \ G=0: במקרה זה תמיד ישנו הפתרון \ u=e^{mx+ny}, וכאשר נציבו במד"ח, נקבל את הקשר \ Am^2+Bmn+Cn^2+Dm+En+F=0, ומגאומטריה אנליטית ידוע שזהו למעשה משטח קוני במשתנים \ m,n אשר סוג חתכיו (הפרבולי, פרבולי, אליפטי) נקבעים על ידי הביטוי \ B^2-4AC.

[עריכה] משוואות היפרבוליות

  • משווואת הגלים

[עריכה] משוואות פרבוליות

  • משוואת החום החד ממדית

[עריכה] משוואות אליפטיות

  • משוואת לפלס

[עריכה] תנאי התחלה ותנאי שפה למד"ח לינאריות מסדר שני

[עריכה] פתרונות אמיתיים ופתרונות מוכללים

פתרון נקרא פתרון אמיתי אם הוא גזיר עד סדר המשוואה ומקיים את תנאי ההתחלה. כל פתרון אחר יקרא פתרון מוכלל.

[עריכה] מוצגות היטב, יציבות, קיום ויחידות של פתרונות

  • בעיה מסוימת היא מוצגת היטב אם לבעיה קיים פתרון אמיתי יחיד והפתרון יציב.
  • פתרון נקרא יציב כאשר הוא תלוי באופן רציף בתנאים הנלווים לבעיה. כלומר, שינוי קטן בתנאי התחלה גורם לשינוי קטן בפתרון. ההפרש בין שני פתרונות כאלה יתכנס במידה שווה ל-0, כאשר השינוי בתנאי ההתחלה שואף ל-0.

[עריכה] שיטות לפתרון מד"ח

[עריכה] ראו גם

[עריכה] לקריאה נוספת

  • יהודה פינצ'ובר ויעקב רובינשטיין, מבוא למשוואות דיפרנציאליות חלקיות, מהדורה שלישית, הטכניון, 2006.

מקור: http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%9E%D7%A9%D7%95%D7%95%D7%90%D7%94_%D7%93%D7%99%D7%A4%D7%A8%D7%A0%D7%A6%D7%99%D7%90%D7%9C%D7%99%D7%AA_%D7%97%D7%9C%D7%A7%D7%99%D7%AA
כלים אישיים