משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית היא משוואה דיפרנציאלית שבו לפחות אחת מהמשתנים הוא תהליך סטוכסטי. משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית משמשת במודלים בפיזיקה סטטיסטית ובמתמטיקה פיננסית בהם ישנו שינוי שמתנהג שצורה סטטיסטית. בדרך כלל השינוי מתנהג כמו נגזרת של התנועה הבראונית אולם, ייתכן כי התהליך הסטוכסטי מתנהג בצורה שונה.

רקע[עריכת קוד מקור | עריכה]

העבודות הראשונות על משוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות החלו בתיאור התנועה הבראונית על ידי לואי בשלייה ב-1900 עבודתו Théorie de la Spéculation[1] (התאוריה של הספקולציה) ועל ידי אלברט איינשטיין במאמרו בשנת הפלאות על התנועה הנדרשת מהתורה הקינטית המולקולארית של החום ושל חלקיקים קטנים השוהים על פניו של נוזל במנוחה בו תיאר את תנועת הגזים וחלקיקי אבק בתוך נוזל.

את עבודתו של בשלייה המשיך הפיזיקאי פול לאנגווין. בהמשך קיושי איטו ורוסלן סטרטונוביץ' הציבו בסיס מתמטי מוצק יותר למשוואות אלו.

תיאור משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית[עריכת קוד מקור | עריכה]

משוואה דיפרנציאלית כללית מסדר ראשון מתוארת בדרך כלל בצורה:

 \mathrm{d} X_t = \mu(X_t,t)\, \mathrm{d} t +  \sigma(X_t,t)\, \mathrm{d} B_t ,

כאשר B מתאר תנועה בראונית סטנדרטית. על מנת לפתור את המשוואה ניתן לבצע אינטגרציה בשני האגפים כך שפתרון לX_t יהיה סכום של שני אינטגרלים. הראשון  \int_t^{t+s} \mu(X_u,u) \mathrm{d} u הוא אינטגרל של משתנה רגיל שניתן לחשבו על ידי אינטגרל לבג והביטוי השני \int_t^{t+s} \sigma(X_u,u)\, \mathrm{d} B_u הוא אינטגרל לפי משתנה סטוכסטי אותו לא ניתן לחשב כאינטגרל רגיל אלא כאינטגרל סטוכסטי, בדרך כלל משתמשים באינטגל איטו לצורך זה.

מקרה פרטי של המשוואה הזו שמשמשת במידול של מכשירים פיננסית ושווקים בשוק ההון היא תנועה בראונית גאומטרית שמקיימת את המשוואה dS_t=\mu S_t dt+\sigma S_t dB_t.


הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]