משוואה לינארית

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, משוואה לינארית היא משוואה שכל המשתנים בה הם ממעלה ראשונה, כלומר מופיעים ללא חזקות. הצורה הכללית של משוואה לינארית היא זאת: $\ \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+...+\alpha_n x_n=b$. משוואה כזו נקראת "משוואה לינארית ב-n נעלמים". פתרון של המשוואה הוא כל קבוצה סדורה של מספרים $\ {a_1,a_2,...,a_n}$ שהצבתם במקום הנעלמים המתאימים $\ x_i$ תניב את השוויון המבוקש. האיברים $\ x_i$ נקראים הנעלמים במשוואה, והאיברים $\ \alpha_i$ נקראים המקדמים של הנעלמים. האיבר b נקרא מקדם חופשי. מקדמי המשוואה הם סקלרים השייכים לשדה ידוע, כגון שדה המספרים הממשיים, או לחוג כללי יותר.

בלשון פיזיקלית, לנעלמים נהוג לקרוא דרגות חופש ואילו למשוואות נהוג לקרוא אילוצים. מכיוון שמערכות של משוואות ליניאריות הן הסוג היחיד של משוואות שאפשר לפתור באופן מלא (כלומר, יש שיטה לחשב באופן אנליטי את כל הפתרונות, דבר שלא קיים עבור מערכות משוואות לא לינאריות) יש חשיבות רבה ליכולת להמיר משוואות אחרות לצורה לינארית, או לפחות לקרב באופן לינארי מצבים מורכבים יותר.

מערכת משוואות לינאריות

ערך מורחב – מערכת משוואות לינאריות

במקרים רבים יש לפתור מערכת משוואות לינארית, כלומר קבוצה של מספר משוואות לינאריות, ולא משוואה בודדת. במקרה כזה מחפשים פתרון למערכת - כלומר, פתרון שמתאים לכל המשוואות יחד. מערכת משוואות תיכתב בצורה הכללית ביותר כך:

$\ \alpha_{11} x_1+\alpha_{12} x_2+...+\alpha_{1n} x_n=b_1$

$\ \alpha_{21} x_1+\alpha_{22} x_2+...+\alpha_{2n} x_n=b_2$

    :

    :

$\ \alpha_{m1} x_1+\alpha_{m2} x_2+...+\alpha_{mn} x_n=b_m$

זוהי מערכת של m משוואות ב-n נעלמים. נשים לב כי האינדקס של המקדמים הוא כפול: המספר הראשון בו אומר מה היא השורה שבה מופיע המקדם (כלומר, מספר המשוואה) והאינדקס השני - מהו מספר המשתנה שאליו צמוד המקדם.

מערכת משוואות שבה $\ b_1=b_2=...=b_m=0$ תיקרא מערכת משוואות הומוגנית.

הצגה באמצעות מטריצות

את מערכת המשוואות נוח להציג בצורה מטריציונית. בצורת הצגה זו, n-ית הנעלמים מוצגת כוקטור עמודה $\vec{x}$ מממד n ואילו אוסף המקדמים מוצג כמטריצה A מסדר $\ m \times n$ ואילו m-ית המקדמים החופשיים $\vec{b}$ מוצגת כוקטור עמודה מממד m. בצורה זו המערכת תיוצג ככשוויון בין מכפלת מטריצת המקדמים בוקטור הנעלמים לבין וקטור המקדמים החופשיים. כלומר: $\ A \vec{x} = \vec{b}$. באופן מפורש:

${ \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \cdots & \alpha_{mn} \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} } = { \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} }$

ראו גם

• משוואה דיפרנציאלית לינארית

קישורים חיצוניים

• מבוא לאלגברה לינארית, פרק ב', אמנון יקותיאלי, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בן-גוריון

נושאים באלגברה לינארית

מרחב וקטורי • תלות לינארית • צירוף לינארי • קבוצה פורשת • בסיס • קואורדינטות • מרחב מכפלה פנימית • מטריצה • כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצה משולשית • העתקה לינארית • טרנספורמציה נורמלית • משוואה לינארית • מערכת משוואות לינאריות • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן • אורתוגונליות • תבנית בילינארית • מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אופרטור הרמיטי • יוניטריות • חפיפת מטריצות • טנזור • שדה