משוואה לינארית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, משוואה לינארית היא משוואה שכל המשתנים בה הם ממעלה ראשונה, כלומר מופיעים ללא חזקות. הצורה הכללית של משוואה לינארית היא זאת: \ \alpha_1 x_1+\alpha_2 x_2+...+\alpha_n x_n=b. משוואה כזו נקראת "משוואה לינארית ב-n נעלמים". פתרון של המשוואה הוא n-יה \ {a_1,a_2,...,a_n} כך שהצבת הערכים המספריים \ a_i במקום הנעלמים \ x_i תניב את השוויון המבוקש. האיברים \ x_i נקראים הנעלמים במשוואה, והאיברים \ \alpha_i נקראים המקדמים של הנעלמים. האיבר b נקרא מקדם חופשי. מקדמי המשוואה הם סקלרים השייכים לשדה ידוע, כגון שדה המספרים הממשיים, או לחוג כללי יותר.

בלשון פיזיקלית, לנעלמים נהוג לקרוא דרגות חופש ואילו למשוואות נהוג לקרוא אילוצים. מכיוון שמערכות של משוואות לינאריות הן הסוג היחיד של משוואות שאפשר לפתור באופן מלא (כלומר, יש שיטה לחשב באופן אנליטי את כל הפתרונות, דבר שלא קיים עבור מערכות משוואות לא לינאריות) יש חשיבות רבה ליכולת להמיר משוואות אחרות לצורה לינארית, או לפחות לקרב באופן לינארי מצבים מורכבים יותר.

תיאור קו ישר במישור[עריכת קוד מקור | עריכה]

מערכת צירים קרטזית במישור
איור של קו ישר (פונקציה לינארית)
איור הממחיש את הגדרת השיפוע של קו ישר

רנה דקארט הראה שאפשר לתאר את המישור האוקלידי באמצעות מערכת צירים קרטזית. במערכת זו, ישנו ציר אופקי שנקרא ציר ה-x וציר אנכי, הניצב לו, שנקרא ציר ה-y. אפשר לחשוב על כל ציר כמעין "סרגל" שמאפשר לתת לכל נקודה במישור שני מספרים המתארים את מיקומה.

קו ישר במישור ניתן לתאר במספר דרכים. הצורה הכללית היא

a x + b y = c.

אם a=0 וב-b \ne 0 אז מקבלים קו ישר מקביל לציר x,

y = \frac{c}{b}.

אם b=0 ו-a \ne 0 מקבלים קו ישר מקביל לציר y,

x = \frac{c}{a}.

אם a=b=0 המשוואה לא מתארת קו ישר. אם גם c=0 אזי כל (x,y) הוא פתרון, אך אם c \ne 0 למערכת אין פתרון. הכללה של מקרה נחקרת באלגברה לינארית ופתרון מערכת משוואות לינאריות.

הדרך הנפוצה לכתוב משוואת קו ישר היא

y = m x + n

כאשר m הוא שיפוע הישר, ו-n הוא נקודת החיתוך עם ציר ה-y (קל לראות שעבור x=0 מקבלים y=n). באמצעות טריגונומטריה ניתן להראות ש-

m = \frac{ \Delta y}{\Delta x} = \tan \theta

כאשר \theta היא הזווית בין הישר לציר ה-x.

משוואת ישר עם שיפוע m שעובר דרך הנקודה (a,b) נתונה על ידי

y - b = m \cdot (x-a)

או באופן שקול

y = m x + b - a m.

משוואת ישר העובר דרך שתי נקודות (a_1,b_1) \ , \ (a_2 , b_2 ) (בהנחה ש-a_1 \ne a_2, המקרה בו הם שווים הוא טריוויאלי) היא

y = \frac{b_2 - b_1}{a_2 - a_1} ( x - a_2) + b_2 = \frac{b_2 - b_1}{a_2 - a_1} \cdot x - a_2 \frac{b_2 - b_1}{a_2 - a_1} + b_2.
פיתוח הנוסחה: משתמשים במשוואה הקודמת, עם הצבת a = a_2 , b = b_2 והשיפוע m שנתון על ידי
m = \frac{b_2 - b_1}{a_2 - a_1} .
הצבת כל אלה תיתן
y - b_2 = \frac{b_2 - b_1}{a_2 - a_1} \cdot (x-a_2)
ומכאן קל להגיע לנוסחה הרשומה לעיל.

ישר במרחב וקטורי כללי[עריכת קוד מקור | עריכה]

במרחב וקטורי כללי מעל שדה F ניתן להגדיר קו ישר באופן הבא: יהיו \vec{v},\vec{u} \in V שני וקטורים:
ישר שכיוונו \vec{v} העובר דרך הנקודה \vec{u} ("ישר אפיני") מתואר על ידי

\{ \vec{u} + t \vec{v} | t \in F \}.

ישר העובר דרך הראשית (\vec{u} = 0) מתואר בפשטות על ידי

\mathrm{Span}_F \{ \vec{v} \} = \{ t \vec{v} | t \in F \}.

הגדרת ישר העובר בין שתי נקודות, המיוצגות על ידי הווקטורים \vec{v}_1,\vec{v}_2 \in V

\{ \vec{v}_1 t +  (1 - t) \vec{v}_2 | t \in F \}

מערכת משוואות לינאריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – מערכת משוואות לינאריות

במקרים רבים יש לפתור מערכת משוואות לינארית, כלומר קבוצה של מספר משוואות לינאריות, ולא משוואה בודדת. במקרה כזה מחפשים פתרון למערכת - כלומר, פתרון שמתאים לכל המשוואות יחד. מערכת משוואות תיכתב בצורה הכללית ביותר כך:

\ \alpha_{11} x_1+\alpha_{12} x_2+...+\alpha_{1n} x_n=b_1

\ \alpha_{21} x_1+\alpha_{22} x_2+...+\alpha_{2n} x_n=b_2

    :
    :

\ \alpha_{m1} x_1+\alpha_{m2} x_2+...+\alpha_{mn} x_n=b_m

זוהי מערכת של m משוואות ב-n נעלמים. נשים לב כי האינדקס של המקדמים הוא כפול: המספר הראשון בו אומר מה היא השורה שבה מופיע המקדם (כלומר, מספר המשוואה) והאינדקס השני - מהו מספר המשתנה שאליו צמוד המקדם.

מערכת משוואות שבה \ b_1=b_2=...=b_m=0 תיקרא מערכת משוואות הומוגנית.

הצגה באמצעות מטריצות[עריכת קוד מקור | עריכה]

את מערכת המשוואות נוח להציג בצורה מטריציונית. בצורת הצגה זו, n-ית הנעלמים מוצגת כוקטור עמודה \vec{x} מממד n ואילו אוסף המקדמים מוצג כמטריצה A מסדר \ m \times n ואילו m-ית המקדמים החופשיים \vec{b} מוצגת כוקטור עמודה מממד m. בצורה זו המערכת תיוצג כשוויון בין מכפלת מטריצת המקדמים בוקטור הנעלמים לבין וקטור המקדמים החופשיים. כלומר: \ A \vec{x} = \vec{b}. באופן מפורש:


{
\begin{pmatrix} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1n}  \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \cdots & \alpha_{mn} \end{pmatrix}
}

{
\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}
}
=
{
\begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}
}

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]