משוואת פואסון

משוואת פואסון היא משוואה דיפרנציאלית חלקית עם שימושים רבים באלקטרוסטטיקה, הנדסת מכונות ופיזיקה תאורטית. היא נקראת על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הצרפתי סימאון דני פואסון.

משוואת פואסון היא:

$\Delta\varphi=f$

כאשר $\Delta$ הוא אופרטור לפלס או לפלסיאן ו-f ו-φ הן פונקציות מרחביות. כאשר המרחב הוא מרחב אוקלידי מסמנים את הלפלסיאן כך: ${\nabla}^2$ ומשוואת פואסון נכתבת בצורה הבאה:

${\nabla}^2 \varphi = f$

במרחב תלת ממדי במערכת צירים קרטזית המשוואה היא מהצורה הבאה: $\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).$

כאשר המשוואה היא הומוגנית ($f=0$) משוואת פואסון הופכת למשוואת לפלס, והפונקציה המקיימת אותה נקראת פונקציה הרמונית :

$\Delta \varphi = 0. \!$

משוואת פואסון ניתן לפתור על ידי פונקציית גרין. ישנן גם שיטות נומריות רבות לפתרון. שיטת הרלקסציה היא אחת מהן.

אלקטרוסטטיקה

אחת מאבני היסוד של האלקטרוסטטיקה היא הצגת הבעיה המתוארת על ידי משוואת פואסון. מציאת φ עבור f נתונה היא בעיה חשובה ועל ידי כך מוצאים את פונקציית הפוטנציאל החשמלי עבור התפלגות מטענים נתונה. במערכת יחידות SI:

${\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}$

כאשר $\Phi \!$ הוא הפוטנציאל החשמלי (בוולט), $\rho \!$ היא צפיפות המטען (בקולון למטר רבוע) ו-$\epsilon_0 \!$ היא הפרמיטיביות של הריק (בפאראד למטר).

באזור במרחב שבו אין מטענים מתקיים :$\rho = 0, \,$ והמשוואה לפוטנציאל הופכת למשוואת לפלס:

${\nabla}^2 \Phi = 0.$

פוטנציאל של התפלגות מטענים גאוסיאנית

בהתפלגות גאוסיאנית תלת ממדית ספרית סימטרית של צפיפות המטען $\ \rho(r)$ מתקיים:

$\rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)}$

כאשר Q הוא המטען הכולל, הפתרון Φ (r) של משוואת פואסון:

${\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \epsilon_0 }$

נתון על ידי:

$\Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)$

כאשר $\mbox{erf}\,(x)$ היא פונקציית השגיאה. ניתן לבדוק את נכונות הפתרון על ידי הערכה של ${\nabla}^2 \Phi$. שים לב שעבור r גדול בהרבה מ-σ, $\mbox{erf}\,(x)$ מתקרבת ל-1 והפוטנציאל $\ \Phi(r)$ שואף לפוטנציאל של מטען נקודתי ${ 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } {Q \over r}$, כצפוי.