משוואת פואסון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משוואת פואסון היא משוואה דיפרנציאלית חלקית עם שימושים רבים באלקטרוסטטיקה, הנדסת מכונות ופיזיקה תאורטית. היא נקראת על שם המתמטיקאי והפיזיקאי הצרפתי סימאון דני פואסון.

משוואת פואסון היא:

\Delta\varphi=f

כאשר \Delta הוא אופרטור לפלס או לפלסיאן ו-f ו-φ הן פונקציות מרחביות. כאשר המרחב הוא מרחב אוקלידי מסמנים את הלפלסיאן כך: {\nabla}^2 ומשוואת פואסון נכתבת בצורה הבאה:

{\nabla}^2 \varphi = f

במרחב תלת ממדי במערכת צירים קרטזית המשוואה היא מהצורה הבאה: 
\left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right)\varphi(x,y,z) = f(x,y,z).

כאשר המשוואה היא הומוגנית (f=0) משוואת פואסון הופכת למשוואת לפלס, והפונקציה המקיימת אותה נקראת פונקציה הרמונית :

\Delta \varphi = 0. \!

משוואת פואסון ניתן לפתור על ידי פונקציית גרין. ישנן גם שיטות נומריות רבות לפתרון. שיטת הרלקסציה היא אחת מהן.

אלקטרוסטטיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

אחת מאבני היסוד של האלקטרוסטטיקה היא הצגת הבעיה המתוארת על ידי משוואת פואסון. מציאת φ עבור f נתונה היא בעיה חשובה ועל ידי כך מוצאים את פונקציית הפוטנציאל החשמלי עבור התפלגות מטענים נתונה. במערכת יחידות SI:

{\nabla}^2 \Phi = - {\rho \over \epsilon_0}

כאשר  \Phi \! הוא הפוטנציאל החשמלי (בוולט),  \rho \! היא צפיפות המטען (בקולון למטר רבוע) ו- \epsilon_0 \! היא הפרמיטיביות של הריק (בפאראד למטר).

באזור במרחב שבו אין מטענים מתקיים :\rho = 0, \, והמשוואה לפוטנציאל הופכת למשוואת לפלס:

{\nabla}^2 \Phi = 0.

פוטנציאל של התפלגות מטענים גאוסיאנית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בהתפלגות גאוסיאנית תלת ממדית ספרית סימטרית של צפיפות המטען \ \rho(r) מתקיים:

 \rho(r) = \frac{Q}{\sigma^3\sqrt{2\pi}^3}\,e^{-r^2/(2\sigma^2)}

כאשר Q הוא המטען הכולל, הפתרון Φ (r) של משוואת פואסון:

{\nabla}^2 \Phi = - { \rho \over \epsilon_0 }

נתון על ידי:

 \Phi(r) = { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } \frac{Q}{r}\,\mbox{erf}\left(\frac{r}{\sqrt{2}\sigma}\right)

כאשר \mbox{erf}\,(x) היא פונקציית השגיאה. ניתן לבדוק את נכונות הפתרון על ידי הערכה של {\nabla}^2 \Phi. שים לב שעבור r גדול בהרבה מ-σ, \mbox{erf}\,(x) מתקרבת ל-1 והפוטנציאל \ \Phi(r) שואף לפוטנציאל של מטען נקודתי  { 1 \over 4 \pi \epsilon_0 } {Q \over  r} , כצפוי.