משווה (מתמטיקה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, משווה הוא קבוצה בה שתי פונקציות (או יותר) מקבלות ערכים שווים. משווה הוא קבוצת הפתרונות של משוואה.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נניח כי X וY הן שתי קבוצות, וכי f ו-g הן שתי פונקציות מX לY. המשווה של f ו-g מוגדר להיות קבוצת כל האיברים x בהן f שווה לg. באופן מפורש:

 \mathrm{Eq}(f,g) := \{x \in X \mid f(x) = g(x)\}\mbox{.}\!

בדרך זו ניתן להגדיר משווה לכל זוג פונקציות מX לY. למעשה, אין צורך להגביל את ההגדרה לזוג פונקציות, או אף למספר סופי של פונקציות. באופן יותר כללי, אם F היא קבוצה של פונקציות מX לY, אז המשווה של איברי F הוא קבוצת כל האיברים בהם כל הפונקציות בF שוות. באופן פורמלי:

 \mathrm{Eq}(\mathcal{F}) := \{x \in X \mid \forall{f}{\in}\mathcal{F}\; \forall{g}{\in}\mathcal{F}\; f(x) = g(x)\}\mbox{.}\!

כמקרה טריוויאלי, אם F מכילה פונקציה בודדת f, מאחר שלכל x בX מתקיים \,f(x)=f(x) הרי ש \,Eq(\mathcal{F}) = X.

בתורת הקטגוריות[עריכת קוד מקור | עריכה]

משווים ניתנים להגדרה באמצעות תכונה אוניברסלית, המאפשרת להכלילם מהקטגוריה של קבוצות לקטגוריה כלשהי.

בהקשר כללי זה, אם X ו-Y הם שני אובייקטים ו-f ו-g הם שני מורפיזמים מX לY, המשווה של f ו-g הוא אובייקט E ומורפיזם \,eq:E\rightarrow X כך ש \,f\circ eq =g \circ eq וכך שבהינתן אובייקט O ומורפיזם \,m:O\rightarrow X, אם \,f\circ m = g\circ m אז קיים מורפיזם יחיד \,u:O\rightarrow E כך ש \,eq \circ u = m, כך שמתקבלת דיאגרמה קומוטטיבית:

Equalizer-01.png