משולש רולו

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
משולש רולו הוא עקומה ברוחב קבוע המבוססת על משולש שווה-צלעות. מרחק של נקודה על העקומה מהקודקוד הנגדי לקשת שעליה היא נמצאת הוא זהה לכל הנקודות

משולש רולו הוא עקומה במישור המהווה את הדוגמה הפשוטה ביותר לעקומה עם רוחב קבוע, מלבד המקרה הטריוויאלי של מעגל. משמעות הרוחב הקבוע של העקומה הוא שהמרחק בין כל שני משיקים שונים לעקומה שהם מקבילים זה לזה, הוא אורך קבוע, שאינו תלוי בכיוון המשיקים. משמעות אינטואטיבית של תכונה זו היא שניתן ליצור גלגל בצורת משולש רולו, וזה יתגלגל על המישור באופן חלק וללא קפיצות.

העקומה נקראת על שם פרנץ רולו, מהנדס גרמני בן המאה ה-19 שמחקרו עסק בין השאר בדרכים שמכונות ממירות סוג תנועה אחד לאחר, אם כי העקומה הייתה מוכרת גם לפני זמנו.

בנייה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בניית משולש רולו

על מנת לבנות משולש רולו עם רוחב R באמצעות מחוגה יש לצייר מעגל ברדיוס R. אחרי כן יש לצייר מעגל נוסף שמרכזו נמצא על המעגל הראשון ורדיוסו R. לבסוף יש לצייר מעגל שלישי שמרכזו בנקודת חיתוך של שני המעגלים הקודמים ורדיוסו R. משולש רולו הוא הקו התוחם את השטח המשותף של שלושת העיגולים שנוצרו.

דרך אחרת לצייר משולש רולו היא לצייר משולש שווה-צלעות ואחר כך לצייר שלוש קשתות שהרדיוס שלהן שווה לגודל צלעות המשולש, כך שכל קודקוד של המשולש הוא המרכז של כל אחת מהן, ושני הקודקודים האחרים הם נקודות הקצה. שלוש הקשתות יוצרות משולש רולו.

לפי משפט בלשקה-לבג, למשולש רולו השטח המזערי מבין העקומות שרוחבן קבוע, שיש להן אותו הרוחב. שטח זה הוא {1\over2}(\pi - \sqrt3)s^2, כאשר s הוא הרוחב הקבוע.

מצולעי רולו[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להכליל את משולש רולו למצולע רולו כללי. מכל מצולע משוכלל עם מספר צלעות אי-זוגי ניתן לבנות מצולע רולו.

המצולע שנמצא בשימוש הרב ביותר הוא משובע רולו. ישנם מספר מטבעות בצורה זו:

רוחבם הקבוע של המטבעות שימושי במכונות שמופעלות על ידי מטבעות.

הריבוע שיוצר משולש רולו שמותקן על ציר סיבוב לא קבוע

שימושים נוספים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • למקדחים מסוימים יש צורה של משולש רולו וכאשר הם מותקנים על ראשי מקדחה מיוחדים שמאפשרים ציר סיבוב לא קבוע, הם יכולים לקדוח חורים בצורה שקרובה לריבוע, אם כי זהו ריבוע שפינותיו מעוגלות מעט.

שטח של כל פינה הנשארת אז -

\beta = a^2 \cdot \left(1 - {{\sqrt{3}}\over{2}} - {{\pi}\over{24}}\right)

באמצעות מצולעי רולו אחרים ניתן לקדוח חורים בצורות מחומש, משושה ומתומן.

  • משולש רולו יכול להתגלגל אבל לא סביב ציר סיבוב קבוע. אובייקט שמונח על קורות שחתכיהן הם משולשי רולו ינוע בצורה חלקה ושטוחה, אך ציר שמחובר לגלגלים בצורת משולשי רולו ינוע מעלה ומטה שלוש פעמים בכל סיבוב.
  • עפרונות מסוימים מיוצרים בצורה זו ולא בצורות הנפוצות יותר, עיגול ומשושה. בפרסומים לעפרונות כאלה לעתים נטען שהם נוחים יותר לאחיזה או גורמים לאחיזה נכונה, וכן שנטייתם להתגלגל משולחנות פחותה.
  • העקומה מופיעה בשלטי מערכת השבילים הלאומית של ארצות הברית, שמופעלת על ידי שירות הפארקים הלאומיים, וכן בלוגו של בית הספר למכרות בקולורדו.

גרסה תלת-ממדית[עריכת קוד מקור | עריכה]

חיתוכן של ארבע ספירות ברדיוס s שמרכזן בקודקודי ארבעון משוכלל שאורך צלעותיו s נקרא ארבעון רולו, אך גוף זה אינו משטח ברוחב קבוע. ניתן להפוך אותו למשטח ברוחב קבוע על ידי החלפת שלוש מקשתות הגבול שלו ביריעות שנוצרות מסיבוב קשת מעגלית. גוף זה נקרא ארבעון מייסנר. כמו כן, סיבוב משולש רולו סביב אחד מצירי הסימטריה שלו יוצר משטח ברוחב קבוע, שנפחו קטן מכל משטחי הסיבוב הידועים שרוחבם קבוע.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]