משטח ורונזה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בגאומטריה אלגברית, משטח ורונזה הוא יריעה אלגברית דו-ממדית במרחב הפרוייטיבי ה-5-ממדי \ \mathbb{P}^5. המשטח מהווה שיכון ריבועי של המישור הפרויקטיבי \ \mathbb{P}^2 ב- \ \mathbb{P}^5. משטח זה קרוי על-שם ג'וזפה ורונזה (1854-1917). את משטח ורונזה אפשר לשכן גם ב- \ \mathbb{P}^4, באמצעות הטלה מנקודה גנרית של \ \mathbb{P}^5. ההטלה הבאה, מנקודה גנרית של \ \mathbb{P}^4 ל- \ \mathbb{P}^3, קרויה משטח שטיינר.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

משטח ורונזה הוא תמונת ההעתקה \ s : \mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^5, המוגדרת לפי העתקת ורונזה \ s(x:y:z) = (x^2:y^2:z^2:yz:xz:xy), כאשר \ (x:y:z) הן קואורדינטות הומוגניות של המרחב הראשון. התמונה מוגדרת גם באמצעות המשוואות \ \{(x_0:x_1:x_2:x_3:x_4:x_5) \,:\, x_0x_1 = x_5^2, \, x_2x_5=x_3x_4,\, x_4x_5=x_0x_3\}.

יריעות ורונזה[עריכת קוד מקור | עריכה]

לכל n ו- d, אפשר להגדיר שיכון \ \mathbb{P}^n \to \mathbb{P}^m, כאשר \ m +1 = {n+d \choose d} הוא המקדם הבינומי הסופר את המונומים מדרגה d ב- n משתנים, וההעתקה מוגדרת על ידי: \phi(x_0:x_1:\dots:x_n) = (M_0(x_0,\dots,x_n),M_1(x_0,\dots,x_n),\dots,M_m(x_0,\dots,x_n)) כאשר ה-\,M_i הם אוסף כל המונומים מדרגה d בn משתנים. תמונת השיכון \,\phi היא יריעת ורונזה. אפשר להוכיח שהיא קבוצה סגורה אי פריקה, ולכן יריעה פרויקטיבית. (משטח ורונזה הוא היריעה המתקבלת עבור d=2 ו- n=2).

בניסוח אחר, שאינו תלוי בקואורדינטות, מדובר בהעתקת החזקה הסימטרית, \ \nu_d: \mathbb{P}V \to \mathbb{P}(\rm{Sym}^d V), כאשר V הוא מרחב וקטורי מממד n.

ניתן להראות כי כל יריעה פרויקטיבית היא חיתוך של יריעת ורנוזה ויריעה לינארית.