משפטי האי שלמות של גדל
מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
משפטי האי שלמות של קורט גדל הינם צמד משפטים יסודיים בלוגיקה מתמטית, הענף החוקר את יסודות הלוגיקה בכלים מתמטיים. גדל הראה שבכל מערכת אקסיומות סופית ועשירה מספיק (המכילה את אקסיומות האריתמטיקה החלשה) קיימות טענות אמיתיות שלא ניתן להוכיחן. בכך הראה גדל שהמושגים 'משפט נכון', ו'משפט מוכח', אינם זהים, ושם קץ לניסיונות רבים לבנות מערכת אקסיומתית שבעזרתה ניתן יהיה לבנות בצורה שיטתית את כל המשפטים הנכונים.
תוכן עניינים |
[עריכה] מבוא לא פורמלי
מראשית ימי המתמטיקה ועד למאה העשרים פעלו המתמטיקאים מתוך הנחה שבטיפול בכל טענה מתמטית ייתכנו רק שני כיוונים: ניתן להוכיח את הטענה, או לחילופין ניתן להפריכה (כלומר להוכיח שהטענה אינה נכונה). גם אם קשה מאוד לפתור בעיה מסוימת, הרי אם יושקעו בה מאמץ וכשרון במידה מספקת - תימצא לה הוכחה נאותה. דויד הילברט, גדול המתמטיקאים בתחילת המאה העשרים, ידע שזו הנחה שלא זכתה להוכחה, אך הוא היטיב לתארה באומרו: "ההכרה ביכולת לפתור כל בעיה מתמטית היא תמריץ עז לכל מי שטורח על הפתרון. אנו שומעים בתוכנו את הקריאה המתמדת: הנה הבעיה, מצא את פתרונה, אתה יכול לעשות זאת בכוח המחשבה בלבד, כי במתמטיקה לא ניתקל בחוסר יכולת לדעת".
בשנת 1931 הוכיח הלוגיקן האוסטרי (ואחר-כך אמריקני) קורט גדל (Gödel), במאמרו "על טענות שאינן ניתנות להוכחה בפרינציפיה מתמטיקה ובמערכות דומות", שלתחושה נפלאה זו אין כל בסיס.
משפט האי שלמות הראשון של גדל, שהפך לאבן פינה בלוגיקה המתמטית, הוסיף אפשרות שלישית לגורל הצפוי לטענה מתמטית. המשפט קובע כי בכל מערכת לוגית מקיפה, ניתן לבנות באמצעות אלגוריתם טענות שמחד אינן ניתנות להוכחה ומאידך אינן ניתנות להפרכה מתוך אותה קבוצת אקסיומות. הטענה דומה מאוד לפרדוקס השקרן (פרדוקס שבו אדם מסוים האומר "אני עכשיו משקר" לא דובר אמת ולא דובר שקר). ההוכחה הפורמלית של המשפט מראה בצורה קונסטרוקטיבית כיצד ניתן לבנות טענה שכזו.
דוגמה לטענה מסוג זה היא השערת הרצף שהוצעה על ידי גיאורג קנטור וקובעת שלא קיימת קבוצה שעוצמתה גדולה מזו של המספרים הטבעיים וקטנה מזו של המספרים הממשיים. בשנת 1937 הוכיח גדל כי לא ניתן להפריך השערה זו במסגרת ZF+C ובשנת 1963 הוכיח פול כהן כי לא ניתן להוכיחה במסגרת ZF+C.
במשפט האי שלמות השני הוכיח גדל כי תורה שהינה מספיק חזקה לקיים את אקסיומות האריתמטיקה של פיאנו (שהאריתמטיקה הרגילה מכילה אותה) ובפרט כזאת שמקיימת את האקסיומות של תורת הקבוצות (ZF) לא יכולה להוכיח את העקביות של עצמה. משמעות הדבר היא שאין אפשרות להוכיח בתוך המערכת כי האקסיומות הן עקביות. אולם, האפשרות שאי אפשר להפריך את העקביות של עצמה תלויה במערכת האקסיומות שלה (יכול להיות שטענה זאת בלתי תלויה במערכת האקסיומות שלך ויכול להיות שהיא לא נכונה).
חשוב לציין שתנאי המשפט אינם מחייבים מספר סופי של אקסיומות. כלומר, גם אילו היו בידינו אינסוף אקסיומות של תורת המספרים, היה המשפט מתקיים בתנאי הרגיל, שניתן יהיה לזהות בקלות האם טענה נתונה היא אקסיומה של המערכת.
רעיון זה הופיע עוד קודם לכן בכתביו של אחד מצמד מחברי "פרינציפיה מתמטיקה", אלפרד נורת' וייטהד. וייטהד טען טענה דומה בספרו "המדע והעולם המודרני" (1925), על כך שכל מערכת טענות תהא פתוחה, כך שיוותרו בה טענות שלא יהיו ניתנות לאישוש או להפרכה. מובן שהוא לא היה הראשון לטעון טענה כזו. בספר השישי לפוליטאה, למשל, מתאר אפלטון את המתמטיקה ואת כל מדעי הדיאנויה (מחשבה), כמדעים היפותטיים, בהם יש טענות שניתן להניחן אך לא להוכיחן או להפריכן מתוך המערכת עצמה (בדומה לאקסיומות של הגאומטריה).
[עריכה] ההשפעה של המשפט
ההשפעה של המשפט על התפתחות המתמטיקה הייתה רבה. משפט אי השלמות למעשה ייתר את תוכנית הילברט ובכך פגע אנושות בניסיון לבצע אקסיומציה של המתמטיקה. לאחר ההוכחה, חדלו המתמטיקאים בהדרגה לעסוק בנושא בניית יסודות המתמטיקה שהעסיקם רבות בראשית המאה ה-20 עקב תחושה של יאוש מהנושא.
משפט גדל היווה גם הפרכה לתפיסה האקטואליסטית של המתמטיקה, שטענה שהיא כולה צורה ללא תוכן שיצרו בני אדם ושקיים בה רק מה שהאנשים יצקו לתוכה. גדל הראה שלאובייקטים המתמטיים יש תכונות רבות ונוספות מאלה שנתנו להן יוצריהם האנושיים ובמובן מסוים הם קיימים בנפרד מהמחשבה האנושית. ראו דיון מורחב בנושא בערך שלוש מהפכות קופרניקניות.
ההשפעה מחוץ לתחומי המתמטיקה הייתה רבה אף היא. משפט אי השלמות משמש את חסידי העידן החדש על מנת לנגח את יומרתו כביכול של המדע לדעת הכל. לטענתם, אם אפילו המערכות המתמטיות הבסיסיות ביותר אינן ניתנות להוכחה, אזי ישנה בעייתיות בגישה על פיה מסוגל המדע להבין את העולם. משפט זה נכרך לעתים קרובות יחד עם מכניקת הקוונטים בידי גורמים עוינים למדע על מנת להוכיח את אי היכולת של המדע לדעת הכול.
הפיזיקאי רוג'ר פנרוז התבסס על משפטי האי שלמות של גדל בהעלותו את ההשערה כי האינטליגנציה האנושית ניתנת להסבר רק על ידי קיומן ההיפותטי של אינטראקציות קוונטיות במוח.
[עריכה] לקריאה נוספת
- ארנסט נאגל וג'יימס ניומן, משפט גדל. מהדורה עברית בהוצאת הטכניון, 1993.
- ארנון אברון, "משפטי גדל ובעיית יסודות המתמטיקה", משרד הביטחון - ההוצאה לאור.
- ההוכחה והפרדוקס - משפטי האי שלמות של קורט גדל, רבקה גולדסטיין, 2006.
- מריוס כהן, "משפטי אי-השלמות של גדל", גליליאו 106, יוני 2007.
- שתי עגלות וכדור פורח - על יהדות ופוסטמודרניזם, מיכאל אברהם
- Gödel, Escher, Bach: an Eternal Golden Braid, Douglas R. Hofstadter,1979
[עריכה] קישורים חיצוניים
- אלון עמית, תנו לגדול בשקט, האייל הקורא
- On Formally Undecidable Propositions Of Principia Mathematica And Related Systems, תרגום לאנגלית למאמרו המקורי של גדל - Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme.
