משפט אוילר (גאומטריה)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט אוילר בגאומטריה, הקרוי של שמו של המתמטיקאי לאונרד אוילר, קובע כי המרחק \ d בין מרכז המעגל החוסם ומרכז המעגל החסום של משולש מקיים: d^2 = R\cdot(R - 2r), כאשר \ R הוא רדיוס המעגל החוסם ו-\ r הוא רדיוס המעגל החסום.

מנוסחה זו נובע כי: R\ge 2r .

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תרשים של ההוכחה (כולל ההוכחה עצמה) נוצר על ידי תוכנת GeoGebra

נסמן ב-O את מרכז המעגל החוסם את המשולש ABC, וב-I את מרכז המעגל החסום. נאריך את AI עד שיפגש עם המעגל החוסם ונסמן נקודה זאת ב-L, ואז נקודה L היא אמצע הקשת BC. נעביר את ונאריך אותו כך שיפגש עם המעגל החוסם בנקודה M. מנקודה I נעביר אנך ל-AB, ונסמן את נקודת המגש ב-D. ואז ID=r. על פי משפט תאלס זווית LBM ישרה. זווית LMB שווה לזווית IAD (זוויות היקפיות שנשענות על אותה קשת), ולכן משולשים MBL ו-ADI דומים, ומכאן ID × ML = AI × BL. לכן 2Rr = AI × BL. מתקיים

\angle BIL = \angle {A \over 2} + {\angle ABC \over 2} וכן
\angle IBL = \angle {ABC \over 2} + \angle CBL = \angle {ABC \over 2} + \angle {A \over 2} (זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות האחרות במשולש),

ולכן זווית BIL שווה לזווית IBL, ומכאן BL=IL ו- AI × IL = 2Rr. נאריך את OI משני צדדיו ונסמן את נקודות המפגש ליד O ו-I ב-P ו-Q בהתאמה. מתקיים PI × QI = AI × IL = 2Rr, ומכאן R + d)(R − d) = 2Rr), ולכן (d2 = R(R − 2r. מש"ל.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • משפט אוילר, באתר MathWorld (באנגלית)
  • Geometry Revisited, H.S.M. Coxeter and S.L Greitzer, Anneli Lax New Mathematical Library, Vol 19; משפט 2.12.