משפט ארצלה-אסקולי

באנליזה פונקציונלית, משפט ארצלה-אסקולי (נקרא גם משפט אסקולי בספרות) קובע שלסדרה חסומה ורציפה במידה אחידה של פונקציות $\{f_n\left(x\right)\}$ ב- $\ C[a,b]$ יש תת-סדרה מתכנסת (על פי המטריקה המושרת מהנורמה של $\ C[a,b]$ ).

ממשפט זה נובע, בין היתר, שאופרטור האינטגרל $\ \int_a^b k(s,t)f(t)\,dt=T(f):X\rightarrow X$ כאשר $\ X=C[a,b]$ עם גרעין $\ k$ רציף על $\ [a,b] \times [a,b]$ הוא אופרטור קומפקטי.

הוכחת המשפט

לצורך הוכחת המשפט נשתמש בניסוח יותר כללי שלו.

יהי $\ K$ מרחב מטרי קומפקטי. ותהי $A\subseteq C\left(K\right)$ קבוצה סגורה וחסומה ($C\left(K\right)$ הוא מרחב הפונקציות הרציפות על $\ K$). אזי $\ A$ קומפקטית אם ורק אם אברי $\ A$ רציפים במידה אחידה.

כיוון ראשון

נניח שאברי $\ A$ רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב-$\ A$ יש תת-סדרה מתכנסת (כלומר $\ A$ קומפקטית).

תהי $\left\{f_n\right\}_{n=1}^\infty$ סדרת פונקציות ב-$\ A$.

תהי $\left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty$ סדרה צפופה ב-$\ K$ (קיימת כזאת כי $\ K$ מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

נתבונן בסדרה $\left\{f_n\left(x_1\right)\right\}_{n=1}^\infty$. זוהי סדרה חסומה ב-$\mathbb{R}$ בפרט יש לה תת-סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב-$\left\{f_n^1\left(x_1\right)\right\}_{n=1}^\infty$ ואת גבולה ב-$\xi_1$.

כעת נתבונן בסדרה $\left\{f_n^1\left(x_2\right)\right\}_{n=1}^\infty$. גם זו סדרה חסומה ב-$\mathbb{R}$ לפיכך יש לה תת-סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב-$\left\{f_n^2\left(x_2\right)\right\}_{n=1}^\infty$ ואת גבולה ב-$\xi_2$.

וכך בתהליך איטרטיבי לכל $m\in\mathbb{N}$ נגדיר את הסדרה $\left\{f_n^m\left(x_m\right)\right\}_{n=1}^\infty$ להיות תת-סדרה מתכנסת של $\left\{f_n^{m-1}\left(x_m\right)\right\}_{n=1}^\infty$ ואת גבולה נסמן ב-$\xi_m$.

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון $\left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty$ המוגדרת לכל $\ n$ כך $\ g_n:=f_n^n$ (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה-$\ n$-י שלה הוא האיבר ה-$\ n$-י בסדרה ה-$\ n$-ית).

1. זוהי תת-סדרה של $\left\{f_n\right\}_{n=1}^\infty$.
2. לכל $k\in\mathbb{N}$ הסדרה $\left\{g_n\left(x_k\right)\right\}_{n=1}^\infty$ מתכנסת ל-$\xi_k$ שכן הזנב שלה, $\left\{g_n\left(x_k\right)\right\}_{n=k}^\infty$, הוא תת-סדרה של $\left\{f_n^k\left(x_k\right)\right\}_{n=1}^\infty$.

יהי $\varepsilon>0$.

אברי $\ A$ רציפים במידה אחידה לכן קיים $\ \delta>0$ כך שלכל $x,y\in K$ ולכל $n\in\mathbb{N}$,

אם $d\left(x,y\right)<\delta$ אזי $d\left(g_n\left(x\right),g_n\left(y\right)\right)<\frac{\varepsilon}{3}$

(כאשר $\ d$ היא פונקציית המטריקה ב-$\ K$)

$\ K$ קומפקטי לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר $\ \delta$ שנסמנם ב $\ O_1..O_l$.

לכל $\ 1\le i\le l$ קיים $k_i\in\mathbb{N}$ כך ש-$x_{k_i}\in O_i$ (כי $\left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty$ צפופה ב-$\ K$).

כמו כן הסדרה $\left\{g_n\left(x_{k_i}\right)\right\}_{n=1}^\infty$ מתכנסת ל-$\xi_{k_i}$ לכן לפי תנאי קושי קיים $\ N_i$ כך שלכל $\ n,m>N_i$ מתקיים $d\left(g_n\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x_{k_i}\right)\right)<\frac{\varepsilon}{3}$

נסמן $\ N:=\sup(N_i)$.

וכעת, לכל $\ n,m>N$ ולכל $x\in K$ קיים $\ 1\le i\le l$ כך ש-$x\in O_i$ ומתקיים:

$d\left(g_n\left(x\right),g_m\left(x\right)\right) \le d\left(g_n\left(x\right),g_n\left(x_{k_i}\right)\right) + d\left(g_n\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x_{k_i}\right)\right) + d\left(g_m\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x\right)\right) < \varepsilon$

לכן לפי תנאי קושי הסדרה $\left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty$ מתכנסת במידה שווה.