משפט ארצלה-אסקולי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה פונקציונלית, משפט ארצלה-אסקולי (נקרא גם משפט אסקולי) מעניק איפיון מלא לקומפקטיות של משפחת פונקציות רציפות בקבוצה קומפקטית, באמצעות תכונת הרציפות במידה אחידה. המשפט מהווה הכללה מרחיקת-לכת של משפט בולצאנו-ויירשטראס.

תיאור פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

אם K הוא מרחב מטרי קומפקטי כלשהו, מסמנים ב-C(K) את מרחב הפונקציות הרציפות \ f:K \to \mathbb{C} , שמהווה מרחב וקטורי ביחס לפעולות הסכום והכפל בסקלר המוגדרות נקודתית. זהו מרחב בנך (כלומר מרחב נורמי שלם) תחת "נורמת L-אינסוף":  \| f \|_\infty = \sup_{x \in K}|f(x)| .

כמו בכל מרחב מטרי, תת-קבוצה A של C(K) היא "חסומה" אם קיים חסם ממשי על כל ערכי הפונקציות שלה.

משפט ארזלה אסקולי: תהי A \subseteq C(K) קבוצה חסומה. אזי לכל סדרה ב-A קיימת תת-סדרה מתכנסת, אם ורק אם A רציפה במידה אחידה.
מסקנה: אם A \subseteq C(K) סגורה (בטופולוגיה הנורמית) וחסומה, אז A קומפקטית אם ורק אם היא רציפה במידה אחידה.
הוכחה: ממשפט ארזלה-אסקולי נובע כי אם A חסומה ורציפה במידה אחידה, אז לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת. תוספת הנתון ש-A סגורה קובע כי תת-סדרה זו מתכנסת לתוך A. מכאן ש-A מהווה מרחב מטרי שבו לכל סדרה יש תת-סדרה מתכנסת, תכונה השקולה לקומפקטיות. הכיוון השני של השקילות נובע באופן טריוויאלי מהמשפט.
מסקנה: אופרטור האינטגרל \ T\,:\,C(K) \rightarrow C(K) המוגדר \ T(f) = \int_a^b k(s,t)f(t)\,dt , כאשר \ k גרעין רציף על \ K \times K, הוא אופרטור קומפקטי.

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

כיוון ראשון[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי A\subseteq C\left(K\right) קבוצה חסומה ונניח שאיברי \ A רציפים במידה אחידה. נראה שלכל סדרה ב-\ A יש תת-סדרה מתכנסת. תהי \left\{f_n\right\}_{n=1}^\infty סדרת פונקציות ב-\ A. תהי \left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty סדרה צפופה ב-\ K (קיימת כזאת כי \ K מרחב מטרי קומפקטי לכן ספרבילי).

נתבונן בסדרה \left\{f_n\left(x_1\right)\right\}_{n=1}^\infty. זוהי סדרה חסומה ב-\mathbb{C} בפרט יש לה תת-סדרה מתכנסת. נסמן אותה ב-\left\{f_n^1\left(x_1\right)\right\}_{n=1}^\infty ואת גבולה ב-\xi_1. כעת נתבונן בסדרה \left\{f_n^1\left(x_2\right)\right\}_{n=1}^\infty. גם זו סדרה חסומה ב-\mathbb{C} לפיכך יש לה תת-סדרה מתכנסת שאותה נסמן ב-\left\{f_n^2\left(x_2\right)\right\}_{n=1}^\infty ואת גבולה ב-\xi_2. וכך בתהליך איטרטיבי לכל m\in\mathbb{N} נגדיר את הסדרה \left\{f_n^m\left(x_m\right)\right\}_{n=1}^\infty להיות תת-סדרה מתכנסת של \left\{f_n^{m-1}\left(x_m\right)\right\}_{n=1}^\infty ואת גבולה נסמן ב-\xi_m.

אם כן, קיבלנו סדרה של סדרות פונקציות. נתבונן בסדרת האלכסון \left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty המוגדרת לכל \ n כך \ g_n:=f_n^n (כלומר זו סדרת פונקציות שהאיבר ה-\ n-י שלה הוא האיבר ה-\ n-י בסדרה ה-\ n-ית).

  1. זוהי תת-סדרה של \left\{f_n\right\}_{n=1}^\infty.
  2. לכל k\in\mathbb{N} הסדרה \left\{g_n\left(x_k\right)\right\}_{n=1}^\infty מתכנסת ל-\xi_k שכן הזנב שלה, \left\{g_n\left(x_k\right)\right\}_{n=k}^\infty, הוא תת-סדרה של \left\{f_n^k\left(x_k\right)\right\}_{n=1}^\infty.

יהי \varepsilon>0. אברי \ A רציפים במידה אחידה לכן קיים \ \delta>0 כך שלכל x,y\in K ולכל n\in\mathbb{N}, אם d\left(x,y\right)<\delta אזי d\left(g_n\left(x\right),g_n\left(y\right)\right)<\frac{\varepsilon}{3} (כאשר \ d היא פונקציית המטריקה ב-\ K). אבל \ K קומפקטי, לפיכך נכסה אותו במספר סופי של כדורים פתוחים בקוטר \ \delta שנסמנם ב \ O_1,\dots,O_l.

לכל \ 1\le i\le l קיים k_i\in\mathbb{N} כך ש-x_{k_i}\in O_i (כי \left\{x_k\right\}_{k=1}^\infty צפופה ב-\ K). כמו כן הסדרה \left\{g_n\left(x_{k_i}\right)\right\}_{n=1}^\infty מתכנסת ל-\xi_{k_i} לכן לפי תנאי קושי קיים \ N_i כך שלכל \ n,m>N_i מתקיים d\left(g_n\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x_{k_i}\right)\right)<\frac{\varepsilon}{3}. נסמן \ N:=\sup(N_i). כעת, לכל \ n,m>N ולכל x\in K קיים \ 1\le i\le l כך ש-x\in O_i ומתקיים d\left(g_n\left(x\right),g_m\left(x\right)\right) \le d\left(g_n\left(x\right),g_n\left(x_{k_i}\right)\right) + d\left(g_n\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x_{k_i}\right)\right) + d\left(g_m\left(x_{k_i}\right),g_m\left(x\right)\right) < \varepsilon. לכן, לפי תנאי קושי, הסדרה \left\{g_n\right\}_{n=1}^\infty מתכנסת במידה שווה.