משפט בל

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Gnome-edit-clear.svg ערך זה זקוק לעריכה: ייתכן שהערך סובל מפגמים טכניים כגון מיעוט קישורים פנימיים, סגנון טעון שיפור או צורך בהגהה, או שיש לעצב אותו.
אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה.

בפיזיקה, משפט בל הוא שם כללי למשפחה של תוצאות המוכיחות שמכניקת הקוונטים סותרת את המובן הפשוט של עקרון המקומיות. עקרון המקומיות במובן זה הוא ההנחה שמדידה הנערכת במקום אחד במרחב לא יכולה להשפיע באופן מיידי על תוצאה של מדידה הנערכת במקום אחר במרחב. משפט בל מתקבל על ידי ניסוח מתמטי של אי-שוויונות הנוגעות לקורלציה האפשרית בין מדידות שונות תחת הנחת עקרון המקומיות, ומציאת תחזיות של מכניקת הקוונטים המְּפֵרות את האי-שוויונות הללו. אי-שוויונות כאלו נקראים אי-שוויוני בל.

את המשפט הגה והוכיח הפיזיקאי ג'ון סטיוארט בל במאמר משנת 1964. זהו למעשה מאמר תשובה לפרדוקס של איינשטיין-פודולסקי-רוזן שתקפו את הפרשנות ההסתברותית למכניקת הקוונטים באמצעות ההנחה הזו של עקרון המקומיות, ובקשו להוכיח את קיומה של תאוריית משתנים חבויים המשלימה את תורת הקוונטים. תשובתו של בל היא שמכניקת הקוונטים סותרת באופן מהותי את הנחת היסוד של איינשטיין, פודולסקי ורוזן, ולפיכך הקושי שהם הצביעו עליו לא נוגע דווקא לפרשנות ההסתברותית. כל תאוריית משתנים חבויים שתתאים לעקרון המקומיות לא תוכל להתאים לחלק מתחזיות מכניקת הקוונטים.

אי-שוויון בל[עריכת קוד מקור | עריכה]

אי-שוויון בל מתייחס למתאמים (קורלציות) בין תכונות השייכות לאובייקטים. התרחיש במאמר של בל מבוסס על תרחיש דומה לזה המופיע ב-EPR ובו בודקים את ערכי הספין של זוג אלקטרונים שזורים הנמצאים בשני מקומות מרוחקים ואי-השוויון מתייחס להתאמת הספין הכיוונים שונים. בניסוחו המקורי נכתב האי שוויון כך:  1 + \operatorname{C}(b, c) \geq |\operatorname{C}(a, b) - \operatorname{C}(a, c)|,

כאשר b,a ו-c הם כיוונים שונים שעבורם נמדד הספין של האלקטרונים, ו- \ C(x,y) היא ההתאמה בין ערכי הספין בכיוון x בגלאי אחד ובכיוון y בגלאי השני. לצורך ההסבר כאן נשתמש באי שוויון אחר ששקול לאי השוויון הזה (ראה גרסאות של אי שוויון בל בהמשך).

הסבר[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניקח קבוצה של אובייקטים שלכל אחד מהם יכולות להיות או לא להיות כל אחת משלוש התכונות B, A ו-C, נסמן את קיומה של תכונה ב-\ A, את העדרותה ב-\overline A ובאופן דומה את קיומן או העדרותן של התכונות האחרות. מספר האובייקטים בקבוצה שיש להם, למשל, התכונות A ו-B אבל לא C יהיה \ N_{AB\overline C}. מכיוון שמספר החברים בקבוצה שלהם צירוף כלשהו של תכונות יכול להיות 0 או יותר, נוכל לרשום את אי השוויון הבא:

\ N_{A\overline BC}+N_{\overline AB\overline C}\ge 0

נוסיף שני איברים לשני הצדדים של אי השוויון:

\ N_{A\overline BC}+N_{\overline AB\overline C}+N_{A\overline B\overline C}+N_{AB\overline C}\ge N_{A\overline B\overline C}+N_{AB\overline C}

מכיוון שמספר האובייקטים שיש להם תכונה מסוימת ועוד מספר האובייקטים שאין להם אותה תכונה הוא מספר כל האובייקטים, נוכל לחבר זוגות איברים ולרשום:

(2)                  N_{A\overline B}+N_{B\overline C}\ge N_{A\overline C}

אי שוויון זה שקול לאי השוויון של בל.

הספין של אלקטרון יכול לקבל אחד משני ערכים – up או down, או בסימון אחר 1/2 או 1/2- בכל כיוון מרחבי. על פי עקרון אי הוודאות של הייזנברג, לא ניתן למדוד את ערך הספין של אלקטרון מסוים ביותר מכיוון אחד. אבל עבור זוג אלקטרונים במצב שזירות, אם נמדוד את הספין של כל אחד מהם בכיוון מסוים נקבל תמיד ערכים הפוכים. אם לאחד מהם יהיה הספין בכיוון מסוים 1/2, הספין של השני באותו כיוון יהיה תמיד 1/2- . לכן, אם נמדוד את הספין של אחד מזוג אלקטרונים במצב שזירות בכיוון אחד ואת הספין של השני בכיוון אחר, נוכל לכאורה לדעת את הספין של כל אחד מהם בשני כיוונים שונים. יותר נכון, נוכל לדעת מה היה הספין של האלקטרון בכיוון שלא נמדד לו היינו מודדים אותו. אם נמדוד באחד מזוג אלקטרונים ספין 1/2 בכיוון a ובשני ספין 1/2 בכיוון b, יהיה זה כאילו לאלקטרון הראשון יש ספין 1/2 בכיוון a וספין 1/2- בכיוון b. אם נמדוד מספר גדול מאד של אלקטרונים בצורה דומה, נוכל לסמן ב-\ N_{ab} את מספר המדידות שבהן התקבלה תוצאה כזאת. באופן דומה נמדוד מספר זהה של מדידות גם בכיוונים a ו-c ובכיוונים b ו-c. נוכל עכשיו לרשום עבור הניסוי את אי השוויון שלמעלה באופן כזה:

(3)                  N_{ab}+N_{bc}\ge N_{ac}

על פי תורת הקוונטים, אם מודדים את הספין של כל אחד מזוג אלקטרונים שזורים בשני כיוונים שונים שהזווית ביניהם θ, החלק של האלקטרונים שיהיה להם ספין 1/2 בגלאי אחד מתוך סך כל האלקטרונים שיש להם ספין 1/2 בגלאי השני נתון על ידי:

(4)                  \frac{N_{ab}}{N_a}=\sin^2 \frac{\theta}{2}

אם שני הגלאים מודדים ספין באותו הכיוון (θ=0) הערך יהיה 0 – לאף אלקטרון שלבן הזוג שלו יהיה ספין 1/2 לא יהיה ספין 1/2.
אם שני הגלאים מודדים בכיוונים ניצבים (θ=90o) הערך יהיה 0.5 – למחצית מן האלקטרונים שלבן הזוג שלהם ספין 1/2 יהיה ספין 1.
אם שני הגלאים מודדים כיוונים הפוכים (θ=180o) הערך יהיה 1 – לכל האלקטרונים שלבן הזוג שלהם ספין 1/2 יהיה ספין 1/2.

נניח ששלושת הכיוונים שלנו הם:

a=0o
b=30o
c=60o

ואנחנו בודקים עבור כל זוג זויות N זוגות אלקטרונים שהספין שלהם בגלאי הראשון הוא 1/2.

לפי (4) יהיה:

\frac{N_{ab}}{N}=0.07

\frac{N_{bc}}{N}=0.07

\frac{N_{ac}}{N}=0.25

\ N_{ab}+N_{bc}=0.14N<N_{ac}=0.25N

כלומר, התחזית של תורת הקוונטים (4) לא מקיימת תמיד את אי השוויון (3).
ניסויים שונים שנערכו כדי לבדוק את משפט בל, אוששו את תחזיות תורת הקוונטים וסתרו את אי השווין של בל.

המשמעות של משפט בל[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט בל הוא משפט לוגי-מתמטי היוצא מארבע הנחות מסוימות ומגיע למסקנה הניתנת לבדיקה בעזרת ניסוי. אם המסקנה מופרכת בניסויים רבים, כפי שקרה לאי שוויון בל, נוכל להסיק שאחת מהנחות היסוד אינה תקפה, או שהפיתוח המתמטי של המסקנה שגוי. מכיוון שהפיתוח נבדק על ידי חוקרים רבים ונמצא נכון, עלינו לוותר על אחת מארבע הנחות היסוד.

שתי ההנחות המרכזיות בפיתוח היו:

ריאליזם
לכל אובייקט ישנן תכונות מוגדרות, שקיומן, או ערכיהן, אינם תלויים במדידות. לא יכול להתקיים מצב שבו לאובייקט מסוים תכונה כלשהי גם קיימת וגם לא קיימת.
מקומיות
כל פעולה המתבצעת במקום כלשהו יכולה להשפיע רק על אובייקטים הנמצאים באותו מקום. בצירוף תורת היחסות הפרטית ניתן לומר שהמהירות שבה ההשפעה יכולה לנוע היא חסומה על ידי מהירות האור.

שתי ההנחות הללו הן מהבסיסיות ביותר בתיאור המציאות אך לא ניתן לאמת כל אחת מהן בניפרד.

שתי ההנחות הנוספות הן:

תקפות הלוגיקה
אם הלוגיקה כפי שאנחנו מכירים אותה אינה תקפה במציאות, הרי המסקנות של משפט בל לא בהכרח נכונות. עובדה היא שאחת הדרכים שבהן מנסים מאמיני הריאליזם להתמודד עם משפט בל, היא לחפש לוגיקה אלטרנטיבית.
חוק המספרים הגדולים
מכיוון שבניסויים לבדיקת משפט בל אנחנו יכולים לבדוק רק שתי זויות עבור כל זוג חלקיקים, עלינו להניח שעבור כל הקבוצות שמדדנו התפלגות הספין או הקיטוב שלהם זהה. ללא הנחה זו הניסויים לבדיקת משפט בל אינם מוכיחים סתירה של המשפט.

ההשלכות הפילוסופיות של משפט בל[עריכת קוד מקור | עריכה]

על החלק התיאורי של תורת הקוונטים אין כמעט חילוקי דעות. התחזיות והנוסחאות הסטטיסטיות שכלולות בה נבדקו בניסויים רבים ותוצאות הניסויים תואמות את התחזיות. לעומת זאת, על הפרשנות של תורת הקוונטים ניטש ויכוח ארוך שנים. תורת הקוונטים אומרת שלא ניתן לחזות מראש את תכונותיו הקוונטיות של חלקיק מסוים, אלא רק את הסיכוי למציאת כל אחד מהערכים האפשריים אם וכאשר נמדוד אותם. על פי פרשנות קופנהגן – ממשנתו של נילס בוהר – לחלקיק אין כלל ערך מסוים לתכונה עד למדידתה, אלא הוא נמצא במצב של סופרפוזיציה שמשלב את כל הערכים האפשריים. רק בזמן המדידה עצמה הוא מקבל את אחד הערכים האפשריים. פרשנות זו סותרת את אחת מהנחות היסוד של הפיזיקה הקלאסית – ההנחה שהמציאות היא דטרמיניסטית ובכל נקודת זמן יש לה תכונות מוגדרות וחד משמעיות שיקבעו את כל המצבים הבאים שלה. איינשטיין התנגד לפרשנות זו וידועה אמירתו "אלוהים אינו משחק בקוביות" שהופיעה במכתב לפיזיקאי מקס בורן.
פרשנות זו נעשית עוד יותר בעייתית כאשר מדובר על זוגות חלקיקים במצב של שזירות קוונטית. במצב כזה, בכל מדידה נקבל תמיד ערכים משלימים לשני החלקיקים. אם למשל יהיה לאחד מהם ספין 1+ לשני יהיה בהכרח ספין 1-. אם החלקיק מקבל את כיוון הספין רק בזמן המדידה, הוא צריך להשפיע באופן מיידי גם על הספין של בן זוגו – גם אם זה נמצא במרחק רב. את האפשרות להשפעה כזאת כינה איינשטיין: "Spooky action at a distance" (פעולה מעוררת אימה ממרחק).
איינשטיין גרס, שלכל חלקיק ישנן תכונות קבועות מראש – משתנים סמויים - שקובעות מה יהיה הערך של כל תכונה קוונטית, גם אם איננו יכולים לדעת מראש מה הן.
הוויכוח בין תומכי פרשנות קופנהגן לבין תומכי תאוריית המשתנים הסמויים נמשך עד היום. עד לפרסום משפט בל, הוויכוח הזה התנהל ברמה הפילוסופית בלבד. מכיוון שאין כל דרך לדעת מה מצבו של חלקיק שאיננו מודדים אותו באופן כלשהו, כל אחת משתי הפרשנויות האלה עשויה להיות נכונה באותה המידה והבחירה ביניהן תלויה בהשקפה הפילוסופית של כל אחד. פרסום משפט בל, שהראה שיש סתירה בין תחזיות תורת הקוונטים לבין כל תאוריית משתנים סמויים לוקאליים אפשרית, נתן אפשרות להעמיד לבחינה בניסויים את היתכנותה של תאוריה כזאת. כאמור, תוצאות הניסויים שנערכו לבדיקת משפט בל, תמכו בתחזיות תורת הקוונטים והיטו את הכף כנגד תאוריית משתנים סמויים לוקאליים.
רבים נוהגים להסיק מכך שהמציאות, לפחות ברמת החלקיקים התת-אטומיים, איננה לוקאלית ושפרשנות קופנהגן היא הפרשנות הנכונה לתורת הקוונטים. אבל האמת היא, כפי שנאמר קודם, שמה שמראים הניסויים הוא שאיננו יכולים לדבוק בכל ארבע ההנחות המופיעות למעלה. ויתור על אחת או יותר מההנחות הללו, יפתור את הסתירה בין תוצאות הניסויים לאי השוויון של בל. השאלה על איזו מן ההנחות הללו לוותר מחזירה אותנו – לפחות בינתיים - למגרש של הפילוסופיה.

גרסאות של אי השוויון של בל[עריכת קוד מקור | עריכה]

היום ידועות מספר גרסאות של אי השוויון של בל. במאמר המקורי של ג'ון בל מופיע אי השוויון בצורה הבאה:

(4)                  \ 4(\varepsilon +\delta)\ge |\vec a\cdot \vec c-\vec a\cdot \vec b|+\vec b\cdot \vec c-1

ניתן לפשט ביטוי זה לצורה של (1) למעלה:

                  \ 1+C(b,c)\ge |C(a,b)-C(a,c)|

נראה תחילה שאי השוויון (3) שבו השתמשנו להסבר שלמעלה שקול לאי השוויון (1):
ניתן לכתוב את אי השוויון שהשתמשנו בו (3) גם כך:

(6)                  \ N_{bc}\ge N_{ac}-N_{ab}

מכיוון שאפשר לבחור במקום כל תכונה את התכונה ההפוכה לה, נוכל לרשום גם:

(7)                  \ N_{\bar b\bar c}\ge N_{\bar a\bar c}-N_{\bar a\bar b}

אם נחבר את (6) ו-(7) נקבל:

\ N_{bc}+N_{\bar b\bar c}\ge N_{ac}+N_{\bar a\bar c}-N_{ab}-N_{\bar a\bar b}

נכפיל את שני צידי אי השוויון ב-2/N ונוסיף ונחסר 1 בכל צד שלו ונקבל:

(8)                  \ 1+\frac{2(N_{bc}+N_{\bar b\bar c})}{N}-1\ge \frac{2(N_{ac}+N_{\bar a\bar c})}{N}-1-\frac{2(N_{ab}+N_{\bar a\bar b})}{N}+1

אפשר להראות שעבור שתי תכונות שכל אחת מהן יכולה לקבל שני ערכים בהסתברות שווה, הקורלציה ביניהן שווה לביטוי:

(9)                  \ C(a,b)=\frac{2(N_{ab}+N_{\bar a\bar b})}{N}-1

אם נציב את (9) ב-(8) נקבל:

                  \ 1+C(b,c)\ge C(a,c)-C(a,b)

אבל בשל הסימטריה בין זוגות הזויות נוכל להחליף ביניהן ולכתוב גם:

                  \ 1+C(a,c)\ge C(a,b)-C(b,c)

אם נאחד את שתי המשוואות נקבל:

                  \ 1+C(b,c)\ge C(a,c)-C(a,b)\ge -1-C(b,c)

או:

                  \ 1+C(b,c)\ge |C(a,b)-C(a,c)|

אי השוויון CHSH[עריכת קוד מקור | עריכה]

גרסה נוספת ידועה של אי השוויון היא זו של ג'ון קלאוסטר, מיכאל הורן, אבנר שמעוני וריצ'רד הולט (CHSH) שפורסמה במאמר בשנת 1969. אי השוויון מתייחס לקורלציה הקוונטית של זוגות זויות בניסוי דומה לזה המתואר ב-EPR: כל גלאי בכל אחד מהצדדים מכוון לשתי זויות שונות, ובארבע בדיקות נפרדות בודקים את ארבעת הצירופים האפשריים של זויות הגלאים. אי השוויון נרשם כך:

                  \ 2\ge E(a,b)-E(a,b')+E(a',b)+E(a',b')\ge -2

כאשר (x,y)‏E מוגדר כממוצע המשוקלל של המכפלה (x)‏B•‏(x)‏A. אם מגדירים את ערכי הספין 1 ו-1-, (x,y)‏E נתון על ידי מספר המקרים בהם הערכים ב A ו-B היו שווים, פחות מספר המקרים שהערכים היו שונים חלקי סך-הכל המקרים שנבדקו:

                  \ E(x,y)=\frac{(N_{++}+N_{--})-(N_{+-}+N_{-+})}{N_{++}+N_{--}+N_{+-}+N_{-+}}

ניסויים לבדיקת משפט בל[עריכת קוד מקור | עריכה]

שרטוט סכמטי של ניסוי בל דו-ערוצי
המקור S מייצר זוגות פוטונים הנשלחים בכיוונים מנוגדים. כל פוטון פוגש מקטב דו-ערוצי שאת כיוונו ניתן לקבוע. הפוטונים מכל ערוץ מזוהים עי הגלאים והאותות מהגלאים מועברים למנטר הצירופים CM

מאז פרסום משפט בל נערכו מספר גדול של ניסויים לבדיקת קיומו או אי קיומו של אי השוויון של בל. רוב הניסויים נערכו על אור מקוטב ולא על הספין של אלקטרונים כפי שמוצע במסמכים המקוריים, מכיוו שניסויים באור מקוטב קלים יותר ליישום. תכונת הקיטוב של האור דומה במובנים רבים לתכונת הספין של אלקטרונים, כאשר הזויות של המקטבים הן מחצית הזויות המקבילות של גלאי הספין.
ישנם ניסויים בעלי ערוץ אחד שבו יש גלאי אחד בכל צד. בניסוי כזה מניחים שלכל פוטון או אלקטרון שלא נקלט בגלאי ישנו הערך הקוונטי ההפוך מזה של אלה שנקלטים בגלאי. הנחה כזאת יכולה להכניס אי דיוקים לניסוי.
אפשרות אחרת, קצת מורכבת יותר, היא ניסוי עם שני ערוצים שבו ישנם שני גלאים בכל צד שמודדים את שני הערכים הקוונטיים האפשריים.
הבעיה העיקרית בניסויים האלה היא היעילות הנמוכה של הגלאים, שכאשר מכניסים אותה לחישובים הסטטיסטיים מורידה באופן משמעותי את אמינות התוצאות.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]