משפט גלפונד-שניידר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, משפט גלפונד-שניידר הוא משפט הקובע תחת אילו תנאים העלאת מספר אלגברי בחזקת מספר אלגברי נותנת מספר טרנסצנדנטי. המשפט עונה בחיוב על הבעיה השביעית של הילברט. המשפט הוכח על ידי המתמטיקאי הרוסי אלכסנדר גלפונד בשנת 1934 ובאופן בלתי תלוי על ידי המתמטיקאי הגרמני תאודור שניידר בשנת 1935.

המשפט קובע כי אם \ a, b מספרים אלגבריים כך ש-\ a\ne0,1, ו-\ b אי-רציונלי, אז \ a^b טרנסצנדנטי.

תנאי המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

השלכות[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט גלפונד-שניידר משמש להוכחת הטרנסצנדנטיות של קבוצה רחבה של מספרים. דוגמאות מפורסמות כוללות את:

  • קבוע גלפונד-שניידר, 2^\sqrt2 והשורש שלו, \ \sqrt2^\sqrt2.
  • קבוע גלפונד, \ e^{\pi} = \left( e^{i \pi} \right)^{-i} = (-1)^{-i} (לפי זהות אוילר).
  • \ i^i = \left( e^{i \pi / 2} \right)^i = \frac1{\sqrt{e^\pi}} (לפי זהות אוילר).
  • לפי המשפט אם \ a, c אלגבריים אז \ \log_ac = \frac{\log{c}}{\log{a}} טרנסצנדנטי או רציונלי (אחרת \ a^{\log_ac}=c דוגמה נגדית למשפט). למשל \ \log_32 אינו רציונלי (נובע מכך ש-2 ו-3 ראשוניים), ולכן טרנסצנדנטי.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]