משפט גרין

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט גרין הוא משפט באנליזה מתמטית המגדיר קשר בין אינטגרל קווי של פונקציה על עקום סגור ופשוט לבין האינטגרל הכפול על השטח החסום על ידי העקום. משפט גרין הוא מקרה פרטי דו-ממדי של משפט סטוקס. הוא נקרא על שם המתמטיקאי האנגלי ג'ורג' גרין.

למשפט שימושים רבים במתמטיקה ובהנדסה. לדוגמה, הבסיס המתמטי לפעולת הפלנימטר, שהוא מכשיר המודד שטח של צורה מישורית כלשהי, הוא משפט גרין, או נוסחת הסקטור של לייבניץ כמקרה פרטי שלו.

המשפט: תהי \ C מסילה פשוטה סגורה וגזירה למקוטעין החוסמת שטח ב \mathbb{R}^2, ונסמן \ D את השטח החסום על ידי המסילה \ C. אם \ P(x,y) ,\ Q(x,y) פונקציות גזירות עד סדר ראשון בסביבה המכילה את \ D, אזי:

\oint_{C} (P\, \mathrm{d}x + Q\, \mathrm{d}y) = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}x \mathrm{d}y.

כאשר הביטוי משמאל מגדיר אינטגרל קווי על עקום סגור (ולכן סימון העיגול על סימן האינטגרל) ומימין מבוטא האינטגרל הכפול עבור שטח התחום הסגור \ D.

סימון מקובל בפיזיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מקרה שימושי במיוחד הוא כאשר הפונקציות \ P, Q הן רכיבים של שדה וקטורי: \vec f(\vec r) = (P,Q). הסימון המקובל הוא \ P=f_x, Q=f_y. במקרה זה המשפט מקשר בין האינטגרל המשטחי על שטף הרוטור של השדה הווקטורי, לבין האינטגרל המסילתי של השדה. אם נסמן ב \hat n את הווקטור הניצב למשטח, וב \vec {dl} את אלמנט המסילה המקיפה את המשטח, ניסוח המשפט יהיה

\oint_C \vec f\cdot \vec{dl}=\iint_D\left(\vec\nabla\times\vec f\right)\cdot\hat n

בניסוח הזה, המשפט הוא כללי יותר. הוא תקף לא רק כאשר התחום \ D מוכל במישור, אלא גם במקרה כללי שבו \ D הוא יריעה חלקה דו-ממדית פשוטת קשר, והעקום \ C הוא שפת היריעה (שצריכה להיות גזירה למקוטעין).

שימוש לדוגמה:שדה מגנטי מסביב לתיל נושא זרם[עריכת קוד מקור | עריכה]

זרם חשמלי מיצר שדה מגנטי.

נניח כי נתון לנו תיל ישר, אינסופי, הנושא זרם \ I. הקשר בין הזרם לשדה המגנטי נתון (במקרה הסטטי) על ידי חוק אמפר:

\ \vec \nabla \times \vec B = \mu _0 \vec J

כאשר \ \vec B הוא השדה המגנטי, \ \vec J הוא צפיפות הזרם, ו \ \mu_0 הוא קבוע הפרמיאביליות של הריק. נבנה משטח מעגלי מאונך לתיל ברדיוס r, שמרכזו נמצא על התיל (כמו קווי השדה האדומים בתמונה). נסמן את המשטח ב \ D ואת העקום שמקיף אותו ב \ C. מכיוון שהמערכת סימטרית לסיבוב סביב התיל, השדה המגנטי לאורך C קבוע. משיקולים אחרים‏[1] ניתן לקבל שכיוון השדה המגנטי משיק ל C בכל נקודה. לכן, האינטגרל המסלולי על השדה המגנטי שווה פשוט ל:

\oint_C \vec B\cdot \vec dl=\int_C B=2\pi r B

כאשר \ B=\left|\vec B\right| . עכשיו נשתמש במשפט גרין ובחוק אמפר כדי לחשב את גודל השדה:

2\pi r B=\oint_C \vec B\cdot \vec dl=\iint_D \vec \nabla\times\vec B\cdot \hat n=\iint_D \mu_0\vec J\cdot\hat n

לפי הגדרה, האינטגרל על צפיפות הזרם הוא הזרם, ולכן קיבלנו \ 2\pi r B=\mu_0 I, או בניסוח המקובל יותר:

B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}
  1. ^ עובדה זו נובעת מאי קיומם של מונופולים מגנטים, כלומר, ממשוואת מקסוול הקובעת כי הדיברגנץ של השדה המגנטי מתאפס.

הוכחה עבור תחום סטנדרטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר D הוא התחום הסטנדרטי החסום על ידי העקום הגזיר למקוטעין הבנוי מ: C1, C2, C3, C4

זוהי הוכחה עבור תחום סטנדרטי החסום על ידי שני ישרים מאונכים לציר ה-X, ושתי פונקציות גזירות (בתמונה). מהוכחה זו ניתן גם להרחיב את המשפט עבור שטחים שניתנים לחלוקה למספר סופי של שטחים סטנדרטיים.

נוכיח כי מתקיים:

\int_{C} P\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(1)}

וגם:

\int_{C} Q\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}

ובכך הוכחנו את המשפט:

נגדיר:

D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}


כאשר \ g_1, g_2 גזירות למקוטעין ב [a,b] . נחשב את האינטגרל הכפול ב(1):



 \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dxdy = \int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial P}{\partial y} (x,y)\, dy\, dx \right] = \int_a^b \Big\{P(x,g_2(x)) - P(x,g_1(x)) \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}

כעת נחשב את האינטגרל הקווי ב (1): ניתן לרשום את C כאיחוד ארבעת העקומים: C1, C2, C3, C4.

עבור C_1 נשתמש במשוואה: x = x, y = g1(x), axb

\int_{C_1} P(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{P(x,g_1(x))\Big\}\, dx

עבור C_3 נשתמש במשוואה: x = x, y = g2(x), axb ולכן:

 \int_{C_3} P(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} P(x,y)\, dx = - \int_a^b [P(x,g_2(x))]\, dx


האינטגרל על C_3 שלילי בגלל שהוא הולך נגד המגמה של העקום, מ-b ל-a. מאותה סיבה C_1 הולך בכיוון המגמה ולכן חיובי. עבור C_2, C_4 ה X קבוע ולכן

 \int_{C_4} P(x,y)\, dx = \int_{C_2} P(x,y)\, dx = 0

מסקנה:

 \int_{C} P\, dx = \int_{C_1} P(x,y)\, dx + \int_{C_2} P(x,y)\, dx + \int_{C_3} P(x,y)\, dx + \int_{C_4} P(x,y)\, dx
 = -\int_a^b [P(x,g_2(x))]\, dx + \int_a^b [P(x,g_1(x))]\, dx\qquad\mathrm{(4)} = \iint_{D} \left(-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\, dxdy

בצורה דומה נוכל גם לקבל את (2).

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

ויקישיתוף מדיה וקבצים בנושא משפט גרין בוויקישיתוף

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]