משפט דיריכלה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט דיריכלה (Dirichlet) הוא משפט מתמטי, הקובע את הצפיפות היחסית של המספרים הראשוניים בסדרות חשבוניות. את המשפט הוכיח המתמטיקאי הגרמני יוהאן פטר גוסטב לז'ן דיריכלה בשנת 1837.

עוד מימי אוקלידס ידוע שקיימים אינסוף מספרים ראשוניים. הוכחות דומות לזו של אוקלידס מאפשרות להראות גם שקיימים אינסוף ראשוניים מן הצורות \ 6n+1, \ 4n-1, \ 4n+1 או \ 6n-1, וידועות גם תוצאות כלליות יותר. דיריכלה היה הראשון שהראה שבכל סדרה חשבונית שבה הדבר אפשרי (היינו, סדרה מהצורה \ a,m+a,2m+a,3m+a\ldots שבה \ a ו-\ m זרים), קיימים אינסוף ראשוניים.

דיריכלה הוכיח שלקבוצת המספרים הראשוניים השקולים ל-\ a מודולו \ m יש צפיפות דיריכלה ביחס לקבוצת כל הראשוניים, והיא שווה ל-\ \frac{1}{\phi(m)}, כאשר \ \phi היא פונקציית אוילר. ההוכחה מבוססת על סיכום משוקלל של פונקציות L של דיריכלה - וריאנטים על פונקציית זטא של רימן התלויים בקרקטר מודולו m.

ההוכחה של דיריכלה נחשבת פורצת דרך, שכן היא עירבה לראשונה שימוש מרובה באנליזה מתמטית לא טריוויאלית כדי להשיג תוצאה בתורת המספרים. הוכחת המשפט נחשבת להולדת תורת המספרים האנליטית.

ב-1896, בסמוך להוכחת משפט המספרים הראשוניים, הראה דה לה ואלה פוסן שהטענה נכונה גם אם מחליפים את צפיפות דיריכלה בצפיפות הטבעית.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.