משפט האינטגרל של קושי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה מרוכבת, משפט האינטגרל של קושי הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב אינטגרל קווי של פונקציות מרוכבות הולומורפיות. בבסיסו, המשפט אומר שלאורך מסלול סגור והומולוגי לאפס (כגון השפה של תחום פשוט קשר), האינטגרל של כל פונקציה שהיא הולומורפית בתחום שהמסלול סוגר ורציפה על השפה, שווה לאפס. הרחבה של המשפט עוסקת גם במקרה שבו יש חורים בתחום, או נקודות בתוכו שבהן הפונקציה אינה הולומורפית.

למשפט זה תוצאות חשובות רבות, כגון נוסחת האינטגרל של קושי, משפט ליוביל, המשפט היסודי של האלגברה, משפט השארית ועוד. מהמשפט ניתן גם להסיק כי פונקציות הולומורפיות הן אנליטיות - כלומר, ניתן לפתח אותן לטור טיילור.

ניסוח פורמלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהא \ U\subset\mathbb{C} תחום קושי כך שהשפה \ \partial U היא איחוד סופי של תמונת מסילות סגורות, ותהי \ f(z):\bar{U}\rarr\mathbb{C} פונקציה רציפה על \ \partial U והולומורפית ב-\ U. אז האינטגרל המסילתי \oint_{\partial U} f(z)\,dz = 0 , כאשר האינטגרל על שפת התחום הינו סכום סופי של אינטגרלים על מסילות סגורות שאיחוד תמונותיהן מהווה את השפה.

המשפט נובע מן הגרסה החלשה הבאה שלו: תהי \ f הולומורפית ב- \ D ו- \ \Delta משולש המוכל עם פנימו ב- \ D. אז \ \oint_{\partial \Delta}f(z)\, dz = 0.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

Triangle-cauchy.jpg

תחילה, נניח \ \left| \oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz \right| = S > 0. לכן, \ \oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz = \sum_{k=1}^4 \oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz  , ו-\ \left|\oint_{\partial \Delta} f(z)\, dz\right| \le \sum_{k=1}^4 \left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz \right| . לכן \ S \le\sum_{k=1}^4\left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz\right|  , ויש \ 1\le k_0\le 4 כך ש- \ \left|\oint_{\partial \Delta_k^{(1)}}f(z)\, dz\right| \ge \frac{S}{4}.

נסמן \ \Delta_{k_0}^{(1)}=\Delta_1. נמשיך כך ונקבל סדרת משולשים \ \Delta_0 \supset \Delta_1 \supset \Delta_2 \supset ... \supset \Delta_n, כאשר \ \left|\oint_{\partial \Delta_n}f(z)\, dz\right| \ge \frac{S}{4^n}. לפי הלמה של קנטור, \ \bigcap_{n=0}^{\infty} \Delta_n = \left\{z_0\right\}. הנחנו ש-\ f הולומורפית ב- \ z_0, ולכן \ f(z) = f(z_0) + f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0), ו-\ \lim_{z\rightarrow z_0}\varepsilon(z)= 0. נביט באורכי המסילות: \ l(\Delta_0)=l\ ,\ l(\Delta_1)=\frac{l}{2}\ ,\ ... \ l(\Delta_n)=\frac{l}{2^n} , כלומר, עבור \ z \in \partial \Delta_n, \ \left| z-z_0\right|<l(\Delta_n)=\frac{l}{2^n}. מכאן ש-\ \frac{S}{4^n}\le\left|\oint_{\partial \Delta_n}f(z)\, dz \right| = \left| \oint_{\partial \Delta_n}\big[f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)\big]\, dz\right| = (*) .

עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים: \ \ (zf(z_0))'=f(z_0)\ ,\ \left(\frac{f'(z_0)(z-z_0)^2}{2}\right)'=f'(z_0)(z-z_0)\ . ניתן לראות שיש להם פונקציה קדומה, שהיא אנליטית בכל \ \mathbb{C}, בפרט ב- \ D, ולכן האינטגרל שלהם שווה ל-0 לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. לכן גם \ (*)=\left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|.

לפי הגדרת האינטגרל, אם \ \gamma מסילה חלקה למקוטעין ו-\ f רציפה על \ \gamma, אז \ \left|\oint_{\gamma}f(z)\, dz\right|\le M\cdot l(\gamma ), כאשר \ M=max\left|f(z)\right| על \ \gamma ו- \ l(\gamma) הוא האורך של \ \gamma. לכן: \ \left|\oint_{\partial \Delta_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\, dz\right|\le max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l}{2^n}\cdot l(\Delta_n)=max\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}. מכאן נובע: \ \frac{S}{4^n}\le max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot\frac{l^2}{4^n}, ו-\ S\le\ max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2. אבל \ \lim_{n\rightarrow\infty}\left( max_{\partial\Delta_n}\left|\varepsilon(z)\right|\cdot l^2\right)=0 וזו סתירה להנחה, כלומר \ S=0 ולכן \ \oint_Tf(z)\, dz = 0.


אנליזה מרוכבת

מספר מרוכבשדה המספרים המרוכביםפונקציה מרוכבתפונקציה הולומורפיתפונקציה שלמהנוסחת אוילרמשוואות קושי-רימןמשפט אינטגרל קושינוסחת אינטגרל קושימשפט ליובילהמשפט היסודי של האלגברהטור לורןסינגולריותקוטבמשפט השאריותעקרון הארגומנטמשפט רושה

אנליזה מתמטיתחשבון אינפיניטסימליאנליזה וקטוריתטופולוגיהאנליזה מרוכבתאנליזה פונקציונליתתורת המידה