משפט האן-בנך

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל \ f_0 מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד באופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.

המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \,L מרחב בנך מעל השדה \,F (שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב \ L_0 \sub L, ופונקציה תת-לינארית \ \rho : L \rightarrow {\mathbb R} (פונקציה זו מכונה לעתים מז'ורנטה).
אזי כל פונקציונל לינארי \ f_0 : L_0 \rightarrow F החסום על ידי \ \rho (כלומר: \ |f_0(x)|\leq \rho(x) לכל \ x\in L_0) אפשר להרחיב לפונקציונל \ f : L \rightarrow F שגם הוא חסום באותו אופן.

כלומר:

  1. \ \forall x \in L_0 \ : \ f(x) = f_0(x) (כלומר: \ f הוא אכן הרחבה של \ f_0 ).
  2. \ \forall x \in L \ : \ |f(x)| \le \rho(x) (כלומר: \ f חסום גם כן על ידי \,\rho).

מסקנות ושימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • קיום הרחבה שומרת נורמה:
אם \ L הוא מרחב בנך ו-\ M הוא תת-מרחב שלו, ואם f_0 : M\to R הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על \ M, אזי קיימת לו הרחבה f : L \to R רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר: \| f_0 \|_{L_0^{*}} = \| f \|_{L^{*}}. זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר: \ f_0(x) \le \| f_0 \|_{*} \cdot \| x \|, ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-לינארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח קטגורי, ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של מרחבי בנך, \,\mathbb{R} הוא אובייקט אינג'קטיבי.
  • משפט ההפרדה בין נקודות:
\ \forall x_0 \ne 0 \ : \ \exist f_0 \ne 0 \ \mbox{bounded functional} \ , \ \mbox{such that} \ : \ \ f_0(x_0) = \| f_0 \| \cdot \| x_0 \| \ne 0.
בפרט, אם נגדיר \ x_0 = x_1 - x_2 עבור \ x_1 \ne x_2 אזי נקבל שקיים פונקציונל \ f_0 \ne 0 כך ש \ f_0(x_1) \ne f_0(x_2). כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.
  • משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה:
יהי \ L מרחב בנך ויהי \ M הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור). תהי \ z \notin \overline{M} נקודה שאיננה בסגור של \ M, אזי קיים פונקציונל רציף (חסום) \ f : M \to R כך ש:
  1. \ \forall x \in M \ : \ f(x)=0 ,
  2. \ f(z)=1
  3. ומתקיים ש \ \| f \| = (\| z \| )^{-1}

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של \,f_0 החסומות על ידי \,\rho לתת-מרחב כלשהו \ L_0 \subset L_\alpha \subset L עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-\,E). זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב-\,E שמהווה הרחבה של \,f_0 המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל \,L.

עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה. מניחים שההרחבה המקסימלית ב-\,E מוגדרת על תת-מרחב \ L' \subset L, כאשר \ L' \ne L. אזי קיים \ y \in L - L' ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי \ \rho, המוגדרת על ידי:

\ \forall z \in \mbox{span}\left(L' \cup  \{y \} \right)\ : \ f(z) = f(x + \lambda y) = f'(x) + \lambda y'

כאשר \ z = x + \lambda y פירוק יחיד של \,z כאשר \ x \in L' ו-\,f' הוא ההרחבה המקסימלית על \,L' (והם איברי המשפחה \,E). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך \ f'(y) = y' כך שלכל \,z בתחום ההגדרה יתקיים \ f'(x) + \lambda y' = f(z) \le \rho(z) . באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-לינארית אפשר להראות שקיים \,y' כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל-\,f' מ-\,L' לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-\,E.

מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של \,E, וניתן לראות בקלות שגם היא ב-\,E, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה.

לכן, האיבר המקסימלי של \,E מוגדר היטב על כל \,L ומהווה הרחבה של \,f_0 המקיימת את הנדרש.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]