משפט האפסים של הילברט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה ובגאומטריה אלגברית, משפט האפסים של הילברט (Nullstellensatz, מגרמנית - משפט האפסים) הוא משפט המקשר בין יריעות אלגבריות לבין אידאלים בשדות סגורים אלגברית. הוא הוכח לראשונה על ידי דויד הילברט.

נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית (למשל, שדה המספרים המרוכבים), ונניח כי I הוא אידאל בחוג הפולינומים ב-n משתנים מעל K - \,K[x_1,\dots,x_n]. היריעה האפינית (V(I מוגדרת להיות אוסף כל הנקודות \,\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n) \in K^n כך שלכל f ב-I מתקיים \,f(\mathbf{x})=0.

משפט האפסים של הילברט קובע כי אם p הוא פולינום כלשהו המקיים שלכל x \in V(I) מתקיים \,p(x)=0 (כלומר p מתאפס על היריעה (V(I) אז קיים מספר טבעי r כך ש p^r \in I.

מסקנה מיידית ממשפט זה היא משפט האפסים החלש הקובע כי אם I הוא אידאל ממש (כלומר אינו שווה לחוג כולו), אז הקבוצה \,V(I) אינה ריקה, כלומר קיימת נקודה x שהיא אפס משותף לכל הפולינומים בI. מסקנה זו היא במובן מסוים הכללה של המשפט היסודי של האלגברה: בשדה סגור אלגברית, לא זו בלבד שלכל פולינום יש לפחות שורש אחד, אלא גם לכל קבוצת פולינומים שאינה יוצרת (כאידאל) את החוג כולו יש לפחות אפס משותף אחד.

בסימונים המקובלים בגאומטריה האלגברית, נהוג לכתוב את משפט האפסים של הילברט כך: \,I(V(J)) = \sqrt{J} לכל אידאל J. הסימון \,\sqrt{J} הוא הרדיקל של J המוגדר להיות אוסף האיברים בחוג שחזקה חיובית כלשהי שלהם שייכת ל-J.

גרסאות חלשות של המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

אידאלים מקסימליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

תוצאה מעט חלשה יותר, אשר לעתים קרובות משמשת להוכחת משפט האפסים של הילברט היא הגרסה החלשה של משפט האפסים. הגרסה החלשה של המשפט מנוסחת כך: נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית. האידאלים המקסימלים של החוג \,K[x_1,\dots,x_n] הם בדיוק האידאלים: \,\langle x_1-a_1,x_2-a_2,\dots,x_n-a_n \rangle.

במילים אחרות, ישנה התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת האידאלים המקסימליים של חוג זה לבין קבוצות הנקודות של המרחב האפיני ה-n-ממדי.

שורת סתירה[עריכת קוד מקור | עריכה]

גרסה חלשה נוספת (שלמעשה נובעת מהגרסה הקודמת) היא כלהלן:

משפט- בשדה סגור אלגברית, לכל אידאל אמיתי J \neq k[x_1,...,x_n] מתקיים V(J) \neq \phi.

כלומר, בשדה סגור אלגברית, לכל מערכת משוואות פולינומית בכל כמות סופית של משתנים יש פתרון כאשר אין שורת סתירה (כאשר 1 איננו צירוף של איברי J). כאמור לעיל, זוהי הכללה של המשפט היסודי של האלגברה.

מסקנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ממשפט זה אפשר להסיק את ההתאמות הבאות, בין משפחות אידאלים של חוגי פולינומים לבין עצמים גאומטריים:

התאמות אלו הן הבסיס לגאומטריה האלגברית הקלאסית. בגאומטריה האלגברית המודרנית, התאמות אלו מוכללות להתאמה החשובה הבאה:

אידאל \leftrightarrow סכמה אפינית

כלומר, יש התאמה מלאה בין אידאלים של חוג הפולינומים לבין סכמות אפיניות.

גרסה פרויקטיבית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בגאומטריה פרויקטיבית ניתן לנסח משפט מקביל אך מעט שונה.

ראשית, במקרה הפרויקטיבי יריעה פרויקטיבית היא אוסף פתרונות של פולינומים מאידאל הומוגני J (אידאל שלכל איבר בו, גם החלקים המונומיים שלו שייכים אליו), אותה נסמן גם כן V(J).

בכיוון ההפוך, כל תת-קבוצה X במרחב פרויקטיבי שולחים לאידאל שנוצר על ידי הפולינום ההומוגניים שמאפסים את כל הנקודות בה, אותו נסמן I(X).

נקבל טענה דומה לגרסה החלשה על שורת סתירה כלעיל:

משפט - עבור אידאל הומוגני J, מתקיים V(J)=\phi אם ורק אם J מכיל אידאל הומוגני J_s, בו כל מונום של כל פולינום הוא ממעלה s לפחות.

וכעת נקבל את ההתאמה:

משפט האפסים בגרסה הפרויקטיבית- לכל אידאל J עבורו מתקיים V(J) \neq \phi (כלומר הוא לא מכיל אידאל J_s כנ"ל), מתקיים I(V(J))=Rad(J).

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.