משפט האפסים של הילברט

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה ובגאומטריה אלגברית, משפט האפסים של הילברט (Nullstellensatz, מגרמנית - משפט האפסים) הוא משפט המקשר בין יריעות אלגבריות לבין אידאלים בשדות סגורים אלגברית. הוא הוכח לראשונה על ידי דויד הילברט.

נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית (למשל, שדה המספרים המרוכבים), ונניח כי I הוא אידאל בחוג הפולינומים ב-n משתנים מעל K - \,K[x_1,\dots,x_n]. היריעה האפינית (V(I מוגדרת להיות אוסף כל הנקודות \,\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n) \in K^n כך שלכל f ב-I מתקיים \,f(\mathbf{x})=0.

משפט האפסים של הילברט קובע כי אם p הוא פולינום כלשהו המקיים שלכל x \in V(I) מתקיים \,p(x)=0 (כלומר p מתאפס על היריעה (V(I) אז קיים מספר טבעי r כך ש p^r \in I.

מסקנה מיידית ממשפט זה היא משפט האפסים החלש הקובע כי אם I הוא אידאל ממש (כלומר אינו שווה לחוג כולו), אז הקבוצה \,V(I) אינה ריקה, כלומר קיימת נקודה x שהיא אפס משותף לכל הפולינומים בI. מסקנה זו היא במובן מסוים הכללה של המשפט היסודי של האלגברה: בשדה סגור אלגברית, לא זו בלבד שלכל פולינום יש לפחות שורש אחד, אלא גם לכל קבוצת פולינומים שאינה יוצרת (כאידאל) את החוג כולו יש לפחות אפס משותף אחד.

בסימונים המקובלים בגאומטריה האלגברית, נהוג לכתוב את משפט האפסים של הילברט כך: \,I(V(J)) = \sqrt{J} לכל אידאל J. הסימון \,\sqrt{J} הוא הרדיקל של J המוגדר להיות אוסף האיברים בחוג שחזקה חיובית כלשהי שלהם שייכת ל-J.

הגרסה החלשה של המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

תוצאה מעט חלשה יותר, אשר לעתים קרובות משמשת להוכחת משפט האפסים של הילברט היא הגרסה החלשה של משפט האפסים. הגרסה החלשה של המשפט מנוסחת כך: נניח כי K הוא שדה סגור אלגברית. האידאלים המקסימלים של החוג \,K[x_1,\dots,x_n] הם בדיוק האידאלים:

\,(x_1-a_1,x_2-a_2,\dots,x_n-a_n).

במילים אחרות, ישנה התאמה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצת האידאלים המקסימלים של חוג זה לבין קבוצות הנקודות של המרחב האפיני ה-n-ממדי.

מסקנה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ממשפט זה אפשר להסיק את ההתאמות הבאות:

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.