משפט ההעתקה הפתוחה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט ההעתקה הפתוחה הוא משפט חשוב באנליזה פונקציונלית הנוגע לאופרטורים. את המשפט ניסח והוכיח סטפן בנך.

המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \ A: X \to Y אופרטור לינארי חסום בין מרחבי בנך שהוא על Y. אזי A העתקה פתוחה, כלומר: לכל קבוצה פתוחה \ V \subset X התמונה שלה \ A(V) היא קבוצה פתוחה ב Y.

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

מאחר שכל קבוצה פתוחה במרחב X מכילה כדור, מספיק להראות שעבור כל כדור פתוח D שמרכזו נקודת האפס של X, התמונה \ A(D) היא קבוצה פתוחה. לשם כך מספיק להראות ש- 0 היא נקודת פנים של \ A(D) (לגבי שאר הנקודות זה נכון בגלל הזזה).

כדי להראות ש- 0 היא אכן נקודת פנים משתמשים במרכז של קבוצה. מרכז של קבוצה הוא כל נקודות המרכז שלה. נקודת מרכז של קבוצה K היא נקודה x המקיימת, לכל y במרחב, קיים מספר חיובי \alpha כך שקטע מהישר \ [x, \alpha y ) \subset [x,y) מוכל כולו ב K. היתרון בהגדרה זו היא הלינאריות שבה ואפשר להראות שהמרכז של קבוצה הוא אינווריאנטי תחת פעולות לינאריות.

כעת, ניעזר במשפט ליפשיץ:

משפט ליפשיץ: עבור קבוצה \sigma-קמורה, המרכז של הקבוצה שווה לפנים שלה (וכן למרכז של הסגור שלה ולפנים של הסגור שלה).

כעת, נוכיח ש 0 היא נקודת מרכז של AD. בהינתן נקודה y \in Y עלינו להראות שקיים קטע \ [0, \alpha y) המוכל ב-AD, עבור ערך  \alpha כלשהו. מאחר ש A על קיים x ב- X כך ש A(x)=y. מאחר שכדור הוא קבוצה פתוחה ובפרט קבוצה \sigma-קמורה נובע ש- 0 נקודת מרכז של הכדור, ולכן קיים קטע של הישר \ [0, A\alpha x) שמוכל כולו ב D. כעת, אם נפעיל את A על הקטע נקבל ש \ [0, \alpha y) = [0, \alpha Ax) \subset AD (השוויון השמאלי נובע מהפעלת A על x ולינאריות). לכן, 0 היא נקודת מרכז של AD וממשפט ליפשיץ גם נקודת פנים שלה. לכן AD קבוצה פתוחה.

מאחר שהראנו שההעתקה A מעבירה כדור פתוח לכדור פתוח נובע שהיא העתקה פתוחה.

שימושים ומסקנות[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]