משפט המולטינום

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, משפט המולטינום הוא נוסחה לפיתוח חזקות של פולינום. הנוסחה מהווה הכללה מהבינום של ניוטון, אשר מציג מקרה פרטי עבור בינום.

נוסחת המולטינום[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור m מספר חיובי ו-n מספר אי-שלילי (חיובי או אפס), מתקיים:

(x_1 + x_2  + \cdots + x_m)^n 
 = \sum_{k_1+k_2+\cdots+k_m=n} {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} x_1^{k_1} \cdots x_m^{k_m}\,,

כאשר

 {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m}
 = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!}

הוא המקדם המולטינומי, המהווה הכללה של המקדם הבינומי. למקדם המולטינומי יש משמעות קומבינטורית המכלילה את משמעות המקדם הבינומי:  {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} היא מספר הדרכים לחלק n עצמים שונים ל-m קבוצות, כך שבקבוצה הראשונה יש k1 עצמים, בקבוצה השנייה k2 עצמים וכן הלאה.

הסכום האמור נלקח על כל הקומבינציות האפשריות של מספרים אי-שליליים של k1 עדkm כך שסכום כל ki הוא n. כלומר, עבור כל איבר בסכום, סכום המעריכים בחזקות חייב להסתכם ל-n. (נציין כי איברים מהצורה x0 נלקחים בתור 1, אף אם x הוא 0).

עבור המקרה הפרטי m = 2 מתקבל הבינום של ניוטון.

את המשפט ניתן להוכיח באינדוקציה על m, ובעזרת הבינום של ניוטון.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

החזקה השלישית של הביטוי a + b + c נתונה על ידי:

(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3 a^2 b + 3 a^2 c + 3 b^2 a + 3 b^2 c + 3 c^2 a + 3 c^2 b + 6 a b c.

ניתן להוכיח נוסחה זו על ידי שימוש בחוק הפילוג, אך ניתן לחשבה יותר בקלות באמצעות נוסחת המולטינום, אשר נותנת לנו את המקדם של כל איבר, בתור המקדם המולטינומי.