משפט המספרים הראשוניים

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת המספרים, משפט המספרים הראשוניים מתאר את הצפיפות האסימפטוטית של מספר המספרים הראשוניים. לכל מספר ממשי חיובי מסמנים ב- \, \pi(x) את מספר המספרים הראשוניים שאינם עולים על \, x.

משפט המספרים הראשוניים קובע ש- \ \pi(x)\approx\frac{x}{\ln x} (כאשר \ \ln x הוא הלוגריתם הטבעי), כלומר, כאשר x גדול, מספרם של הראשוניים שאינם עולים על x הוא (בקירוב סביר) \ \frac{x}{\ln x}. את המשפט שיערו קרל פרידריך גאוס (ב-1795) ואדריאן-מארי לז'נדר (ב-1808), מתוך התבוננות ברשימות של מספרים ראשוניים. הוכיחו אותו באופן בלתי תלוי הדמר וואלה פוסן ב-1896, והוא נחשב לאחד ההישגים המרכזיים של המתמטיקה במאה ה-19. ההוכחה מבוססת על חקירת תכונות של פונקציית זטא של רימן באמצעות אנליזה מרוכבת.

גרסאות חלשות יותר של המשפט היו ידועות קודם לכן. לא קשה להוכיח שהיחס בין \ \pi(x) ו-\ \frac{x}{\ln x} חסום בין \ 1/4 ל-\ 4. צ'בישב הראה באמצע המאה ה-19 שהיחס חסום בין שבע שמיניות לתשע שמיניות, ואפילו שאם היחס שואף לגבול, אז הגבול חייב להיות שווה ל-1 (מנקודת מבט זו, הדמר ופוסן היו צריכים רק להוכיח שהגבול קיים; אלא שההוכחה שהם מצאו מוכיחה גם את התוצאה של צ'בישב, כבדרך אגב).

פונקציית המספרים הראשוניים וקירובים שונים[עריכת קוד מקור | עריכה]

שיטתו של רימן, שעליה בנויות כל ההוכחות האנליטיות למשפט המספרים הראשוניים, מוליכה באופן טבעי לקירוב \ \pi(x) \sim \operatorname{Li}(x), כאשר \ \operatorname{Li}(x) היא פונקציית האינטגרל הלוגריתמי ההפוך, \ \operatorname{Li}(x) = \int_2^x \frac{1}{\ln t} dt. מבחינת אסימפטוטיקה(אנ') מסדר ראשון אין הבדל בין הקירוב הזה למנה \ \frac{x}{\ln x}, משום שהיחס בין שתיהן שואף ל-1. עם זאת, גורם השגיאה במשפט המספרים הראשוניים הוא מוקד עניין מרכזי בתורת המספרים (ראו השערת רימן), והקירוב באמצעות האינטגרל הלוגריתמי ההפוך טוב בהרבה.

רימן וגאוס האמינו שלכל ערך גדול מספיק של x מתקיים \ \pi(x) < \operatorname{Li}(x) ‏‏‏[1], והנתונים המספריים הידועים תומכים כולם בהשערה כזו. אלא שליטלווד הראה שכיוון אי-השוויון בין שתי הפונקציות מתהפך אינסוף פעמים. סטנלי סקיוז הוכיח ב-1933 שהמקום הראשון שבו ההיפוך הזה קורה הוא לפני המספר העצום \ 10^{10^{10^{34}}} (וגם זאת בהנחה שהשערת רימן נכונה; ללא ההשערה הוא הוכיח ב-1955 את החסם \ 10^{10^{10^{963}}}). מאז השתפר החסם כמה פעמים, והוא עמד בשנת 2000 על \ 1.4 \cdot 10^{316} (Bays-Hudson).

מאידך, Rosser ו- Schonenfeld הוכיחו ב- 1962 שלכל \ x\geq 17 מתקיים \ \frac{x}{\ln x}\leq \pi(x). את הפונקציה \ \operatorname{Li}(x) אפשר לקרב (קירוב משתפר והולך) באמצעות סכומים סופיים מהצורה \ \operatorname{Li}(x) \approx \frac{x}{\ln x}(1+\frac{1}{\ln x}+\frac{2}{\ln x^2}+\cdots+\frac{k!}{\ln x^k}).

טבלה המשווה את הפונקציות:

x \pi(x) \ [\pi(x)-x/\ln x] \ [\operatorname{Li}(x)-\pi(x)] x/\pi(x)
101 4 0  2 2.500
102 25 3  5 4.000
103 168 23  10 5.952
104 1,229 143  17 8.137
105 9,592 906  38 10.430
106 78,498 6,116  130 12.740
107 664,579 44,159  339 15.050
108 5,761,455 332,774  754 17.360
109 50,847,534 2,592,592  1,701 19.670
1010 455,052,511 20,758,029  3,104 21.980
1011 4,118,054,813 169,923,159  11,588 24.280
1012 37,607,912,018 1,416,705,193  38,263 26.590
1013 346,065,536,839 11,992,858,452  108,971 28.900
1014 3,204,941,750,802 102,838,308,636  314,890 31.200
1015 29,844,570,422,669 891,604,962,452  1,052,619 33.510
1016 279,238,341,033,925 7,804,289,844,392  3,214,632 35.810
4 ·1016 1,075,292,778,753,150 28,929,900,579,949  5,538,861 37.200

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מסמנים ב- \ \pi_k(x) את מספרם של המספרים הקטנים מ-x, שיש להם בדיוק k גורמים ראשוניים. גאוס שיער ש-: \ \pi_k(x)\sim \frac{x( \ln\ln x)^{k-1}}{(k-1)! \ln x}. השערה זו הוכחה על ידי לנדאו ב-1900 ‏[2]. על הפונקציה \omega(n) הסופרת כמה גורמים ראשוניים שונים יש למספר n, ידוע שליחס \frac{\omega(n)-\log\log n}{\sqrt{\log\log n}} יש התפלגות נורמלית סטנדרטית כאשר n נבחר באקראי מהמספרים הקטנים מ-N, ו-N שואף לאינסוף (זהו משפט של ארדש ו-Kac מ-1940; הארדי ורמנוג'אן הוכיחו שהיחס חסום).

משפט המספרים הראשוניים סופר את הראשוניים בין 1 ל-x. בדומה לזה אפשר לנסות להעריך את מספר הראשוניים בקטע שאורכו x ומתחיל ב-y, כלומר את \pi(x+y)-\pi(y), במיוחד כאשר x אינו גדול ביחס ל-y. האתגר הוא להוכיח את הקירוב \ \pi(x+y)-\pi(y) \sim \frac{x}{\log y} כאשר x קטן יחסית. אם x = \lambda y תוצאה זו נובעת מן המשפט. השערת רימן, השקולה לקירוב משופר במשפט המספרים הראשוניים, מאפשרת להוכיח את אותה תוצאה גם עבור \ x = \sqrt{y}\log y. ללא השערת רימן, Heath-Brown הוכיח את הקירוב עבור \ x = y^{7/11}. סלברג הוכיח את הקירוב עבור \ x = \log^2 y לכמעט כל y, אבל ידוע שקירוב זה אינו נכון לכל y.

קירובים עבור המספר הראשוני ה-n-י[עריכת קוד מקור | עריכה]

כתוצאה ממשפט המספרים הראשוניים, מתקבל ביטוי אסימפטוטי עבור המספר הראשוני ה-n-י, שאותו מקובל לסמן ב- \ p_n: \ p_n \approx n \ln n (היחס בין הביטויים שואף ל-1). את הקירוב אפשר לשפר ל- { p_n = n \ln n +  n \ln\ln n + \frac{n}{\ln n} \left(\ln \ln n - \ln n- 2 \right) - \frac{n\ln\ln n}{2(\ln n)^2}\left(\ln\ln n-6\right) + O\left( \frac {n} {(\ln n)^2}\right)}.

לפי משפט רוסר (Rosser), \ p_n > n \ln(n) לכל n; למעשה מתקיים (עבור \ n\geq 6) אי-השוויון \ n \ln n + n(\ln \ln n - 1) < p_n <  n \ln n + n \ln\ln n

על ההוכחה האלמנטרית[עריכת קוד מקור | עריכה]

למרות שמשפט המספרים הראשוניים הוכח בסוף המאה ה-19, היו מתמטיקאים שחשו חוסר נחת לגבי ההוכחה, שהשתמשה בכלים מתורת הפונקציות המרוכבות - שממבט ראשון אינה שייכת לעניין - וחיפשו הוכחה ישירה יותר.

ב-1948 הצליח אטלה סלברג להוכיח את הקירוב \ \sum_{p<x} \ln^2 p + \sum_{pq<x} \ln p \ln q  = 2 x \ln x+O(x)[3]. תוך זמן קצר מצאו סלברג ופול ארדש דרך להוכיח מאי-השוויון הזה את משפט המספרים הראשוניים, באופן אלמנטרי (כלומר, כזה שאינו משתמש בתורת הפונקציות המרוכבות). למרות שהוכחה זו מסתפקת בכלים פשוטים יותר, היא נחשבת ליותר מסובכת וקשה.

שני המתמטיקאים היו שונים זה מזה באופיים באופן כמעט קיצוני: ארדש ראה במתמטיקה פעילות קהילתית, וכתב בימי חייו עם כ-500 מחברים-שותפים. סלברג, שהעדיף בניית תאוריה על פתרון בעיות, כתב את כל מאמריו לבדו (למעט אחד, שנכתב עם Sarvadaman Chowla וביוזמתו). ארדש, שהיה מבוגר בכמה שנים והידוע יותר מבין השניים, ראה בהוכחה הישג משותף, והציע לפרסם ב-Annals of Mathematics שני מאמרים: בראשון יתאר סלברג את אי-השוויון שלו, ובשני יסבירו שניהם כיצד אפשר להסיק ממנו שהיחס בין שני ראשוניים עוקבים שואף ל-1, וכיצד אפשר להסיק מטענה זו את משפט המספרים הראשוניים. הרמן וייל, שהעדיף את סגנונו התאורטי של סלברג, מנע את קבלת המאמר המשותף ל-Annals, שפרסם בסופו של דבר הוכחה שכתב סלברג ועקפה את תרומתו של ארדש. המחלוקת בשאלה מי אחראי להוכחה האלמנטרית - סלברג לבדו או סלברג וארדש - לא שככה עוד זמן רב אחר-כך.

מקורות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • The Elementary Proof of the Prime Number Theorem, J. Spencer and R. Graham, The Mathematical Intelligencer, Vol. 31(3), 2009.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ ‏The Little Book of Big Primes, P. Ribenboim, p. 162‏
  2. ^ Hardy and Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, subsection 22.20, 5th edition, 1979.
  3. ^ להסבר הסימון O בנוסחה, ראו סימון אסימפטוטי.