משפט הפונקציה ההפוכה

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

במתמטיקה, משפט הפונקציה ההפוכה, מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה רציפה היא הפיכה.

ניסוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי A\subset\mathbb{R}^{n} קבוצה פתוחה ותהי f:A\longrightarrow\mathbb{R}^{n} גזירה ברציפות. תהי a\in A עבורה היעקוביאן בנקודה J_{f}(a)\neq0. קיימת קבוצה פתוחה U\subset A המקיימת  a\in U, כך ש \ V=f(U) היא גם כן פתוחה.

\ f מעתיקה את \ U חד חד ערכית על \ V והפונקציה ההפוכה f^{-1}:V\longrightarrow U גם כן גזירה ברציפות ומטריצת יעקובי של \ f^{-1} מקיימת:  D_{f^{-1}}(f(x))=D_{f}^{-1}(x) לכל x\in U

מקרה פרטי[עריכת קוד מקור | עריכה]

זהי הכללה של המקרה הפרטי בו \ n=1: תהי f:A\longrightarrow\mathbb{R} גזירה ברציפות. תהי a\in A נקודה המקיימת f'(a)\neq0

מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק שקיימת \ \delta>0 שלכל \ x\in(a-\delta,a+\delta) ,\ f'(x)\neq0.

נניח כי \ f'(a)>0 אז מהיות \ f' רציפה, לכל \ x\in(a-\delta,a+\delta), \ f'(x)>0 שהרי אחרת היה קיים \ x_{0}\in(a-\delta,a+\delta), \ f'(x_{0})=0 ממשפט ערך הביינים.

לכן \ f מונוטונית עולה ממש בכל \ (a-\delta,a+\delta) גורר ש \ f חד חד ערכית בכל \ (a-\delta,a+\delta). מכאן ניתן להגדיר f^{-1}:f((a-\delta,a+\delta))\longrightarrow(a-\delta,a+\delta) הגזירה בכל נקודה פנימית ב \ (a-\delta,a+\delta) על פי הגדרת הנגזרת של פונקציה הפיכה: \left(f^{-1}\right)'(x)=\frac{1}{f'\left(f^{-1}(x)\right)} כי f^{-1}(x)\in(a-\delta,a+\delta) ובקטע זה הנגזרת של \ f שונה מ-0.