משפט השונות השלמה

משפט השונות השלמה הוא משפט בתורת ההסתברות פירוק לשונות של משתנה מקרי לגורמים של תוחלת מותנית ושונות מותנית במשתנה אחר.

אם X הוא משתנה מקרי, אז משפט השונות השלמה אומר כי:

$\operatorname{var}(Y)=\operatorname{E}(\operatorname{var}(Y\mid X))+\operatorname{var}(\operatorname{E}(Y\mid X)).\,$

הוכחה

עפ"י הגדרת השונות: $\operatorname{Var}[Y] = \operatorname{E}[Y^2] - \operatorname{E}[Y]^2$

בעזרת נוסחת ההסתברות השלמה.

$= \operatorname{E}\left[\operatorname{E}[Y^2|X]\right] - \operatorname{E}\left[\operatorname{E}[Y|X]\right]^2$

נשכתב את הביטוי למומנט השני של Y:

$= \operatorname{E}\!\left[\operatorname{Var}[Y|X] + \operatorname{E}[Y|X]^2\right] - \operatorname{E}[\operatorname{E}[Y|X]]^2$

לפי לינאריות התוחלת:

$= \operatorname{E}[\operatorname{Var}[Y|X]] + \left(\operatorname{E}\left[\operatorname{E}[Y|X]^2] - \operatorname{E}[\operatorname{E}[Y|X]\right]^2\right)$

לבסוף נזהה את הביטוי בסוגריים כשונות התוחלת המותנית $E[Y|X]$:

$= \operatorname{E}\left[\operatorname{Var}[Y|X]\right] + \operatorname{Var}\left[\operatorname{E}[Y|X]\right]$

ראו גם

• משפט התוחלת השלמה

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.