משפט טיכונוף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, משפט טיכונוף קובע שאם \left\{X_\alpha\right\}_{\alpha \in A} משפחה של מרחבים טופולוגיים קומפקטיים, אז גם מרחב המכפלה \ \prod_{\alpha \in A} X_\alpha קומפקטי. המשפט נחשב אחד המשפטים החשובים ביותר בטופולוגיה כללית, אם לא החשוב שבהם, והוכיח אותו אנדריי טיכונוף בתחילת שנות ה-30 של המאה ה-20.

כאשר מדובר במכפלה של מספר סופי של מרחבים, ההוכחה נובעת בקלות יחסית מן ההגדרה של טופולוגיית המכפלה. אלא שהמשפט תקף גם עבור מכפלות מכל גודל (ואפילו שאינן בנות מנייה) עם טופולוגיית המכפלה (המכונה גם טופולוגיית טיכונוף). משפט זה מספק גם צידוק משמעותי להעדפת טופולוגיית המכפלה על פני טופולוגיית התיבות.

מלבד היישומים של המשפט בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית, משפט טיכונוף מוכר בתורת הקבוצות האקסיומטית כניסוח שקול לאקסיומת הבחירה הקובעת שאם כל הקבוצות במשפחה \left\{X_\alpha\right\}_{\alpha \in A} אינן ריקות אז גם קבוצת המכפלה אינה ריקה. הגרסה המוחלשת של המשפט, המתייחסת רק לקומפקטיות של מכפלת מרחבי האוסדורף קומפקטיים, אינה גוררת את אקסיומת הבחירה. עם זאת, גם הגרסה המוחלשת אינה ניתנת להוכחה במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל (ZF, ללא אקסיומת הבחירה).