משפט טיכונוף

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בטופולוגיה, משפט טיכונוף קובע שאם \ X_i הם מרחבים טופולוגיים קומפקטיים, אז גם מרחב המכפלה \ \prod_i X_i קומפקטי. את המשפט, המוכר כאחד המשפטים החשובים ביותר בטופולוגיה כללית, אם לא החשוב שבהם, הוכיח אנדריי טיכונוף בתחילת שנות ה-30 של המאה ה-20.

כאשר מדובר במכפלה של מספר סופי של מרחבים, ההוכחה נובעת בקלות יחסית מן ההגדרה של טופולוגיית המכפלה. אלא שהמשפט תקף גם עבור מכפלות אינסופיות (ואפילו שאינן בנות מנייה) עם טופולוגיית המכפלה (המכונה גם טופולוגיית טיכונוף).

מלבד היישומים של המשפט בטופולוגיה ובאנליזה פונקציונלית, משפט טיכונוף מוכר בתורת הקבוצות האקסיומטית כניסוח שקול לאקסיומת הבחירה הקובעת שאם הקבוצות \ X_i אינן ריקות אז גם קבוצת המכפלה אינה ריקה. הגרסה המוחלשת של המשפט, המתייחסת רק לקומפקטיות של מכפלת מרחבי האוסדורף קומפקטיים, אינה גוררת את אקסיומת הבחירה. עם זאת, גם הגרסה המוחלשת אינה ניתנת להוכחה במסגרת אקסיומות צרמלו-פרנקל (ZF, ללא אקסיומת הבחירה).