משפט טרסקי

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בתורת הקבוצות האקסיומטית, משפט טַרְסְקִי, אותו הוכיח אלפרד טרסקי, מציג טענה השקולה לאקסיומת הבחירה: טרסקי הוכיח שאם מניחים רק את מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל, אז אקסיומת הבחירה נובעת מן הטענה "לכל קבוצה אינסופית A, עוצמתה של המכפלה הקרטזית \ A\times A שווה לזו של A", ובקיצור "\ \alpha^2 =\alpha לכל עוצמה אינסופית". הכיוון ההפוך היה ידוע עוד קודם לכן, וכך הטענה שקולה לאקסיומת הבחירה.

כאשר טרסקי הציע את המאמר לפרסום ב- Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, דחה אותו מוריס פרשה בטענה שגרירה לוגית בין שתי טענות שהן נכונות ממילא, אינה תוצאה מעניינת. אנרי לבג דחה אף הוא את המאמר, באומרו שהוא אינו מוצא כל עניין בקשר לוגי בין שתי טענות שקריות. ‏[1] אפיזודה זו משקפת את הלוך הרוחות בין אנשי תורת הקבוצות בתחילת המאה העשרים, כאשר מעמדה של אקסיומת הבחירה היה שנוי במחלוקת.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

מטרתנו להוכיח כי אקסיומת הבחירה נובעת מן הטענה "לכל קבוצה אינסופית A מתקיים |A|=|A \times A|". כידוע, משפט הסדר הטוב שקול לאקסיומת הבחירה, ולכן יהיה מספיק להראות שמן הטענה נובע כי לכל קבוצה B קיים סדר טוב.

עבור קבוצות סופיות הטענה מיידית, ולכן נניח כי B אינסופית.

כיוון שאוסף כל הסודרים כך שיש פונקציה על מ-B אל הסודר היא קבוצה - יש סודר מינימלי, \beta, כך שאין פונקציה על מ-B ל-\beta. נניח בלי הגבלת הכלליות שהקבוצות B ו-\beta זרות. לפי ההנחה, |B \cup \beta|=|(B \cup \beta) \times (B \cup \beta)|, ולכן קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל f: B \cup \beta \to (B \cup \beta) \times (B \cup \beta).

לכל איבר  x \in B, לא ייתכן שהקבוצה \beta \times \{x\} מכוסה על ידי הפעלת f על איברי B בלבד (כלומר לא ייתכן שמתקים  \beta \times \{x\} \subseteq f[B]), שכן אחרת ניתן היה להגדיר פונקציה על מ-B ל-\beta. לכן, קיים לפחות סודר אחד \gamma \in \beta המקיים  f(\gamma) \in \beta \times \{x\}, ומכאן שהקבוצה  S_x=\{\gamma | f(\gamma) \in \beta \times \{x\}\} אינה ריקה.

בעזרת תכונה זו נוכל להגדיר פונקציה חדשה:  g(x)=\min S_x. פונקציה זו מוגדרת היטב שכן S_x הינה קבוצה לא ריקה של סודרים, ולכן קיים לה מינימום. נזכור כי לכל x,y \in B, x \neq y הקבוצות S_x ו- S_y הינן זרות. על כן, פונקציה זו משרה סדר טוב על B, לכל שני איברים x, y \in B נגדיר x \leq y \iff g(x) \leq g(y), שהרי התמונה של g, קרי g[B], היא קבוצת סודרים ולכן סדורה היטב.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Jan Mycielski (2006). "A System of Axioms of Set Theory for the Rationalists". Notices of the American Mathematical Society 53 (2): 209.