משפט לגראנז' (תורת החבורות)

משפט לגראנז' הוא אחד המשפטים היסודיים בתורת החבורות הסופיות. המשפט קובע שאם $\ G$ חבורה סופית ו-$\ H\subseteq G$ תת חבורה שלה, אז הסדר של $\ H$ מחלק את הסדר של $\ G$, כלומר $\ \frac{|G|}{|H|}$ הוא מספר שלם. המשפט נקרא על שם ז'וזף לואי לגראנז'.

מן המשפט אפשר מיד להסיק שהסדר של כל איבר בחבורה סופית מחלק את סדר החבורה (מכיוון שהחבורה הנוצרת על ידי x היא תת-חבורה, והסדר שלה שווה לסדר של x). במלים אחרות, אם $\ G$ חבורה סופית אז $\ x^{|G|}=e$ לכל $\ x\in G$. עובדה זו פותחת את האפשרות לנתח מבנה של חבורות סופיות באמצעות הסדרים של האיברים השונים. זוהי גם הוכחה כמעט מיידית למשפט אוילר.

אם $\ G$ חבורה אבלית, אז יש לה תת-חבורה מכל סדר המחלק את $\ |G|$. תכונה זו, המהווה מעין היפוך של משפט לגראנז', אינה נכונה בחבורות כלליות - הדוגמה הקטנה ביותר היא חבורת התמורות הזוגיות $\ A_4$, שהיא חבורה מסדר 12 ואין לה אף תת-חבורה מסדר 6.

לגראנז' פרסם את המשפט ב-1770, בעבודתו על שורשים של פולינומים, יותר ממחצית המאה לפני לידתה של תורת החבורות. באותו זמן, המשפט קבע שמספר הערכים השונים שאפשר לקבל מפונקציה של n משתנים על-ידי החלפת המשתנים זה בזה מחלק תמיד את $\ n!$. הקשר לניסוח המודרני של המשפט הוא שקבוצת התמורות של משתני הפונקציה שאינם משנים אותה (הפונקציה סימטרית ביחס אליהן) היא תת-חבורה $H$ של החבורה הסימטרית של n משתנים (הכוללת $n!$ איברים). מספר הפונקציות השונות המתקבלות מהפונקציה על ידי חילוף סדר המשתנים שווה לאינדקס של H בחבורה הסימטרית, $n!/|H|$.

הוכחת המשפט

לצורך הוכחת המשפט נוכיח שני דברים - ראשית, שקבוצת כל המחלקות (קוסטים) השמאליות של $\ H$ מהווה חלוקה של $\ G$, ושנית, שגודלה של כל מחלקה כזה שווה לסדר של $\ H$.

נראה ראשית כי היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" הוא יחס שקילות. נגדיר את היחס בצורה פורמלית: $aRb \iff aH=bH$. נשים לב כי

$aH=bH\iff \exists h_1,h_2:a\cdot h_1=b\cdot h_2 \iff a\cdot b^{-1}=h_2\cdot h_1^{-1}\isin H$

כלומר, $aRb \iff ab^{-1}\isin H$, או במילים אחרות, a ו-b באותה מחלקה של H אם ורק אם ההפרש שלהם שייך ל-H.

כעת נוכיח את התכונות הנדרשות מיחס שקילות:

1. רפלקסיביות: $\ aa^{-1}=e\isin H$ כי $\ H$ תת-חבורה ולכן מכילה את איבר היחידה. לכן $\ aRa$.
2. סימטריות: נניח כי $\ aRb$, כלומר $\ ab^{-1}=h\isin H$, אז $\ \left(ab^{-1}\right)^{-1}=h^{-1}\isin H$, כלומר $\ ba^{-1}=h^{-1}\isin H$ ולכן $\ bRa$.
3. טרנזיטיביות: נניח כי $\ aRb,bRc$, כלומר $\ ab^{-1}=h_1,bc^{-1}=h_2$. מסגירות $\ H$ נקבל:

$\ ac^{-1}=ab^{-1}\cdot bc^{-1}=h_1\cdot h_2 \isin H$

כלומר, $\ aRc$.

הראינו כי $\ R$ יחס שקילות, לכן הוא משרה חלוקה של $\ G$ למחלקות שקילות זרות. מכיוון שהיחס הוא של שייכות למחלקה שמאלית, הרי שמחלקות השקילות הן בדיוק כל המחלקות השמאליות של $\ H$.

כעת נראה כי גודלה של כל מחלקה של $\ H$ שווה לסדר $\ H$. לשם כך נבנה התאמה חד-חד ערכית מ$\ H$ על מחלקה $\ aH$ כלשהי שלה.

ההתאמה $\ f:H\rarr aH$ תיבנה כך: $\ f(h)=ah$.

נראה כי זו התאמה חד-חד ערכית: נניח כי $\ f(h_1)=f(h_2)$ אז $\ ah_1=ah_2$ ואחרי צמצום נקבל $\ h_1=h_2$.

נראה כי זו התאמה על: יהי $\ x\isin aH$, אז על פי הגדרת המחלקה, $\ \exists h\isin H:x=ah$ ולכן $\ f(h)=x$.

על כן, הקבוצות $\ H$ ו-$\ aH$ שקולות, כלומר $\ |H|=|aH|$.

כעת, לכל איבר ב$\ G$ ידוע שהוא שייך למחלקה כלשהי של $\ H$. לכן מספר האיברים ב$\ G$ הוא סכום מספר האיברים בכל המחלקות של $\ H$. יש מספר סופי של מחלקות, כי יש מספר סופי של איברים ב$\ G$. יהי $\ k$ מספר המחלקות, אז $\ k\cdot |H|=|G|$, כלומר סדר $\ H$ מחלק את סדר $\ G$ ובכתיב מתמטי $\ |H| | |G|$, כפי שהיה להוכיח.