משפט לגראנז' (תורת החבורות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט לגראנז' הוא אחד המשפטים היסודיים בתורת החבורות הסופיות. המשפט קובע שאם \ G חבורה סופית ו-\ H\subseteq G תת חבורה שלה, אז הסדר של \ H מחלק את הסדר של \ G, כלומר \ \frac{|G|}{|H|} הוא מספר שלם. המשפט נקרא על שם ז'וזף לואי לגראנז'.

מן המשפט אפשר מיד להסיק שהסדר של כל איבר בחבורה סופית מחלק את סדר החבורה (מכיוון שהחבורה הנוצרת על ידי x היא תת-חבורה, והסדר שלה שווה לסדר של x). במלים אחרות, אם \ G חבורה סופית אז \ g^{|G|}=e לכל \ g\in G. עובדה זו פותחת את האפשרות לנתח מבנה של חבורות סופיות באמצעות הסדרים של האיברים השונים. זוהי גם הוכחה כמעט מיידית למשפט אוילר.

אם \ G חבורה אבלית, אז יש לה תת-חבורה מכל סדר המחלק את \ |G|. תכונה זו, המהווה מעין היפוך של משפט לגראנז', אינה נכונה בחבורות כלליות - הדוגמה הקטנה ביותר היא חבורת התמורות הזוגיות \ A_4, שהיא חבורה מסדר 12 ואין לה אף תת-חבורה מסדר 6.

לגראנז' פרסם את המשפט ב-1770, בעבודתו על שורשים של פולינומים, יותר ממחצית המאה לפני לידתה של תורת החבורות. באותו זמן, המשפט קבע שמספר הערכים השונים שאפשר לקבל מפונקציה של n משתנים על ידי החלפת המשתנים זה בזה מחלק תמיד את \ n!. הקשר לניסוח המודרני של המשפט הוא שקבוצת התמורות של משתני הפונקציה שאינם משנים אותה (הפונקציה סימטרית ביחס אליהן) היא תת-חבורה H של החבורה הסימטרית של n משתנים (הכוללת n! איברים). מספר הפונקציות השונות המתקבלות מהפונקציה על ידי חילוף סדר המשתנים שווה לאינדקס של H בחבורה הסימטרית, n!/|H|.

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

לצורך הוכחת המשפט נוכיח שני דברים - ראשית, שקבוצת כל המחלקות (קוסטים) השמאליות של \ H מהווה חלוקה של \ G, ושנית, שגודלה של כל מחלקה כזה שווה לסדר של \ H.

לצורך הטענה הראשונה, די להראות שהקבוצות \, aH זרות זו לזו. אכן, אם \ x \in aH אז  x = ah עבור \ h\in H, ולכן גם  a = x h^{-1} \in xH. מכאן נובע  xH \subseteq aHH = aH על-ידי כפל מימין ב-H, ומאותו אופן גם  aH \sub aH ולכן כתוב  xH=aH. כעת, אם  aH \cap bH \neq \emptyset, אז יש  x\in aH, bH ולכן  aH = xH = bH.

כעת נראה כי גודלה של כל מחלקה של \ H שווה לסדר \ H. לשם כך נבנה התאמה חד-חד ערכית מ\ H על מחלקה \ aH כלשהי שלה.

ההתאמה \ f:H\rarr aH תיבנה כך: \ f(h)=ah.

נראה כי זו התאמה חד-חד ערכית: נניח כי \ f(h_1)=f(h_2) אז \ ah_1=ah_2 ואחרי צמצום נקבל \ h_1=h_2.

נראה כי זו התאמה על: יהי \ x\isin aH, אז על פי הגדרת המחלקה, \ \exists h\isin H:x=ah ולכן \ f(h)=x.


על כן, הקבוצות \ H ו-\ aH שקולות, כלומר \ |H|=|aH|.


כעת, לכל איבר ב\ G ידוע שהוא שייך למחלקה כלשהי של \ H. לכן מספר האיברים ב\ G הוא סכום מספר האיברים בכל המחלקות של \ H. יש מספר סופי של מחלקות, כי יש מספר סופי של איברים ב\ G. יהי \ k מספר המחלקות, אז \ k\cdot |H|=|G|, כלומר סדר \ H מחלק את סדר \ G ובכתיב מתמטי \ |H| | |G|, כפי שהיה להוכיח.