משפט לגראנז' (תורת החבורות)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט לגראנז' הוא אחד המשפטים היסודיים בתורת החבורות הסופיות. המשפט קובע שאם \ G חבורה סופית ו-\ H\subseteq G תת חבורה שלה, אז הסדר של \ H מחלק את הסדר של \ G, כלומר \ \frac{|G|}{|H|} הוא מספר שלם. המשפט נקרא על שם ז'וזף לואי לגראנז'.

מן המשפט אפשר מיד להסיק שהסדר של כל איבר בחבורה סופית מחלק את סדר החבורה (מכיוון שהחבורה הנוצרת על ידי x היא תת-חבורה, והסדר שלה שווה לסדר של x). במלים אחרות, אם \ G חבורה סופית אז \ g^{|G|}=e לכל \ g\in G. עובדה זו פותחת את האפשרות לנתח מבנה של חבורות סופיות באמצעות הסדרים של האיברים השונים. זוהי גם הוכחה כמעט מיידית למשפט אוילר.

אם \ G חבורה אבלית, אז יש לה תת-חבורה מכל סדר המחלק את \ |G|. תכונה זו, המהווה מעין היפוך של משפט לגראנז', אינה נכונה בחבורות כלליות - הדוגמה הקטנה ביותר היא חבורת התמורות הזוגיות \ A_4, שהיא חבורה מסדר 12 ואין לה אף תת-חבורה מסדר 6.

לגראנז' פרסם את המשפט ב-1770, בעבודתו על שורשים של פולינומים, יותר ממחצית המאה לפני לידתה של תורת החבורות. באותו זמן, המשפט קבע שמספר הערכים השונים שאפשר לקבל מפונקציה של n משתנים על ידי החלפת המשתנים זה בזה מחלק תמיד את \ n!. הקשר לניסוח המודרני של המשפט הוא שקבוצת התמורות של משתני הפונקציה שאינם משנים אותה (הפונקציה סימטרית ביחס אליהן) היא תת-חבורה H של החבורה הסימטרית של n משתנים (הכוללת n! איברים). מספר הפונקציות השונות המתקבלות מהפונקציה על ידי חילוף סדר המשתנים שווה לאינדקס של H בחבורה הסימטרית, n!/|H|.

הוכחת המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

לצורך הוכחת המשפט נוכיח שני דברים - ראשית, שקבוצת כל המחלקות (קוסטים) השמאליות של \ H מהווה חלוקה של \ G, ושנית, שגודלה של כל מחלקה כזה שווה לסדר של \ H.

נראה ראשית כי היחס "להיות שייך לאותה מחלקה" הוא יחס שקילות. נגדיר את היחס בצורה פורמלית: aRb \iff aH=bH. נשים לב כי

aH=bH\iff \exists h_1,h_2:a\cdot h_1=b\cdot h_2 \iff a^{-1}\cdot b=h_2\cdot h_1^{-1}\isin H

כלומר, aRb \iff a^{-1}b\isin H, או במילים אחרות, a ו-b באותה מחלקה של H אם ורק אם המנה שלהם שייכת ל-H.

כעת נוכיח את התכונות הנדרשות מיחס שקילות:

  1. רפלקסיביות: \ a^{-1}a=e\isin H כי \ H תת-חבורה ולכן מכילה את איבר היחידה. לכן \ aRa.
  2. סימטריות: נניח כי \ aRb, כלומר \ a^{-1}b=h\isin H, אז \ \left(a^{-1}b\right)^{-1}=h^{-1}\isin H, כלומר \ b^{-1}a=h^{-1}\isin H ולכן \ bRa.
  3. טרנזיטיביות: נניח כי \ aRb,bRc, כלומר \ a^{-1}b=h_1,b^{-1}c=h_2. מסגירות \ H נקבל:
\ a^{-1}c=a^{-1}b\cdot b^{-1}c=h_1\cdot h_2 \isin H

כלומר, \ aRc.

הראינו כי \ R יחס שקילות, לכן הוא משרה חלוקה של \ G למחלקות שקילות זרות. מכיוון שהיחס הוא של שייכות למחלקה שמאלית, הרי שמחלקות השקילות הן בדיוק כל המחלקות השמאליות של \ H.

כעת נראה כי גודלה של כל מחלקה של \ H שווה לסדר \ H. לשם כך נבנה התאמה חד-חד ערכית מ\ H על מחלקה \ aH כלשהי שלה.

ההתאמה \ f:H\rarr aH תיבנה כך: \ f(h)=ah.

נראה כי זו התאמה חד-חד ערכית: נניח כי \ f(h_1)=f(h_2) אז \ ah_1=ah_2 ואחרי צמצום נקבל \ h_1=h_2.

נראה כי זו התאמה על: יהי \ x\isin aH, אז על פי הגדרת המחלקה, \ \exists h\isin H:x=ah ולכן \ f(h)=x.


על כן, הקבוצות \ H ו-\ aH שקולות, כלומר \ |H|=|aH|.


כעת, לכל איבר ב\ G ידוע שהוא שייך למחלקה כלשהי של \ H. לכן מספר האיברים ב\ G הוא סכום מספר האיברים בכל המחלקות של \ H. יש מספר סופי של מחלקות, כי יש מספר סופי של איברים ב\ G. יהי \ k מספר המחלקות, אז \ k\cdot |H|=|G|, כלומר סדר \ H מחלק את סדר \ G ובכתיב מתמטי \ |H| | |G|, כפי שהיה להוכיח.