משפט לסקר-נתר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט לסקר-נתר הוא משפט בתורת החוגים, המספק, עבור כל אידאל של חוג קומוטטיבי נותרי, פירוק בתור חיתוך של מספר סופי של אידאלים פרימריים. הפירוק שבו מספר האידאלים מינימלי הוא יחיד מבחינת הרדיקלים של האידאלים הפרימריים המשתתפים בו.

את המשפט הוכיח עמנואל לסקר עבור חוגי פולינומים בכמה משתנים מעל שדה, ואמי נתר הכלילה אותו לכל חוג נותרי.

ניסוח המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

יהי \ A חוג נותרי וקומוטטיבי. כל אידאל \ I של \ A הוא חיתוך \ I=Q_1 \cap \ Q_2 \cap ... \cap \ Q_n , עבור אידאלים פרימריים \ Q_1,Q_2,...Q_n . בנוסף לזה, בכל הדרכים להציג את I כחיתוך כזה עם n מינימלי, מתקבלים אותם רדיקלים \ \sqrt{Q_1}, \sqrt{Q_2}, ... ,\sqrt{Q_n} (עד כדי סדר).

הוכחת הקיום[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • למה ראשונה: בחוג נותרי כל אידאל הוא חיתוך של מספר סופי של אידאלים אי פריקים (אידאל אי-פריק הוא אידאל שלא ניתן להציג כחיתוך של שני אידאלים אחרים).

הוכחה: נניח בשלילה שקיימים אידאלים שאינם חיתוך של מספר סופי של אידאלים אי פריקים. על-פי עקרון המקסימום, המתקיים בחוגים נותריים, ניתן להניח שיש אידאל M שהוא מקסימלי מבין האידאלים בעלי תכונה זו. M בוודאי אינו פריק, ולכן ניתן לרשום \ M=A \cap B כאשר \ M\subsetneq\ A,B . מתוך המקסימליות של \ M נובע ש-A,B הם חיתוכים של מספר סופי של אידאלים אי פריקים, ולכן גם החיתוך שלהם, M, הוא כזה - בסתירה להנחה.

  • למה שנייה: בחוג קומוטטיבי נותרי, כל אידאל אי פריק \ A הוא פרימרי.

הוכחה: נניח ש\ Q אינו פרימרי ונוכיח שהוא פריק. מכיוון ש-\ Q אינו פרימרי, קיימים איברים \ b,c \in A כך ש \ c \not \in Q וגם \forall \ n:\ b^n \not \in Q . נסמן \ I_k=\{x \in A | xb^k \in Q\} . מכיוון ש\ Q הוא אידאל, אם \ xb^k \in Q אז גם אם נכפול אותו באיבר כלשהו הוא יישאר באידאל ולכן גם \ xb^{k+1} \in Q . אנו מקבלים את השרשרת העולה \ ...I_{k-1} \subset \ I_k \subset \ I_{k+1} \subset \ ... . מכיוון שהחוג נותרי השרשרת חייבת להעצר ולכן קיים \ l כך ש \ I_l = I_{l+1} . לכן, אם \ xb^{l+1} \in Q אזי \ xb^l \in Q .

כעת נסתכל על הקבוצות \ M=Q + Ab^l ו \ N=Q + Ac . הן בוודאי שונות מ\ Q מכיוון ש\ b^l \not \in Q ו \ c \not \in Q . נוכיח ש \ (Q + Ab^l) \cap \ (Q + Ac) = Q . ברור ש \ Q \subset \ M \cap \ N מכיוון ש\ Q \subsetneq \ M וגם \ Q \subsetneq \ N . נראה ש  \ M \cap \ N \subset \ Q . ניקח איבר בחיתוך, ונציג אותו כאיבר כל אחד מהקבוצות:  \ q + ab^l=q' + a'c כאשר  \ q,q' \in Q ו \ a,a' \in A . נכפול את שני צידי המשוואה ב \ b ונקבל  \ qb + ab^{l+1}=q'b + a'bc .

עכשיו, נתון לנו ש\ bc \in Q ומכיוון ש\ Q הוא אידאל אז \ a'bc \in Q . מכיוון ש\ Q אידאל גם \ qb,q'b \in Q . זה גורר שהאיבר היחיד שנותר במשוואה גם כן שייך ל \ Q  : \ ab^{l+1} \in Q . אבל הראנו שזה גורר ש\ ab^l \in Q . ולכן \ q + ab^l \in Q , כלומר כל איבר כללי בחיתוך שייך ל\ Q ולכן \ M \cap \ N \subset \ Q .

קבלנו  \ M \cap \ N = Q כלומר הצלחנו לפרק את \ Q ל\ M ו \ N ולכן \ Q פריק כפי שרצינו.

משתי הלמות קבלנו פירוק סופי של כל אידאל לאידאלים פרימריים.