משפט ניקומאכוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט ניקומאכוס הוא משפט בתורת המספרים הקובע כי הזהות הבאה מתקיימת לכל מספר טבעי n:

1^3+2^3+\ldots+n^3 = (1+2+\ldots+n)^2

כלומר שסכום n המספרים המעוקבים הראשונים (חזקות שלישיות) שווה לריבוע סכום n המספרים הראשונים. המשפט קרוי על שם המתמטיקאי היווני בן המאה ה-1, ניקומאכוס, שכתב אודותיו.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הזהות של ניקומאכוס נתגלתה באופן בלתי תלוי פעמים רבות במהלך ההיסטוריה. בין השאר גילו אותה ההודי אריאבהטה (המאה ה-5), הפרסי אל-קאראג'י (המאה ה-10), היהודי צרפתי רלב"ג (המאה ה-14) וההודי נילקנטה סומיאג'י (המאה ה-15).

תיאור המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

מבחינה פורמלית משפט ניקומאכוס קובע שלכל n טבעי מתקיים:

\sum_{k=1}^n {k^3} = \left(\sum_{k=1}^n {k}\right)^2

סכום המספרים הטבעיים מ-1 עד n נקרא המספר המשולשי ה-n, והוא מסומן T_n. ישנה נוסחה מפורשת למספרים משולשיים: T_n = \frac{n(n+1)}2, ובאמצעותה ניתן לתאר את משפט ניקומאכוס גם כך:

\sum_{k=1}^n {k^3} = T_n^2 = \frac{n^2(n+1)^2}4

הוכחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

למשפט ניקומאכוס הוכחות רבות. קודם להצגתן נציין שלוש זהויות שישמשו לשם קיצור ואסתטיות. את שלוש הזהויות ניתן להוכיח בפשטות בדרך אלגברית מתוך הנוסחה המפורשת למספר משולשי. עם זאת, לכולן ישנן גם הוכחות גאומטריות וקומבינטוריות.

T_n-T_{n-1} = n \quad (1) (נובע ישירות מההגדרה של מספר משולשי)
T_n+T_{n-1} = n^2 \quad (2) (הוכחה גאומטרית)
T_n = \binom {n+1}2 \quad (3) (הוכחה קומבינטורית; לפשר הסימון ראו מקדם בינומי)

כמו כן נניח כי \ T_0=0 (כפי שאכן משתמע מכל הנוסחאות והזהויות).

הוכחה באינדוקציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההוכחה הסטנדרטית למשפט היא באינדוקציה. בסיס האינדוקציה טריוויאלי, 1^3=1^2. נניח כי T_{n-1}^2 = 1^3+2^3+\ldots+(n-1)^3 ונראה כי T_{n}^2 = 1^3+2^3+\ldots+n^3:

T_n^2 = (T_{n-1}+n)^2 = T_{n-1}^2+2nT_{n-1}+n^2 =

נציב את הנחת האינדוקציה ואת הנוסחה למספר משולשי ונקבל:

 = (1^3+2^3+\ldots+(n-1)^3) + (n^2(n-1)+n^2) = 1^3+2^3+\ldots+n^3

כנדרש.

הוכחה באמצעות טור טלסקופי[עריכת קוד מקור | עריכה]

נבחין בזהות הבאה הנובעת מזהויות (1) ו-(2):

T_k^2-T_{k-1}^2 = (T_k+T_{k-1})(T_k-T_{k-1}) = k^2\cdot k = k^3

כעת נוכל להציג את הסכום המבוקש כטור טלסקופי:

\sum_{k=1}^n {k^3} = \sum_{k=1}^n {(T_k^2-T_{k-1}^2)} = T_n^2-T_{n-1}^2 + T_{n-1}^2 -T_{n-2}^2+\ldots-T_0^2 = T_n^2

הוכחה קומבינטורית[עריכת קוד מקור | עריכה]

נגדיר קבוצה A שאיבריה הם רביעיות סדורות של מספרים בין 0 ל-n (כולל), כך שהאיבר הרביעי בכל רביעייה גדול ממש משלושת האיברים האחרים. בסימונים: A = \{(h,i,j,k)| 0\le h,i,j < k \le n\}. לכל k קבוע, h,i,j נבחרים בחופשיות מבין המספרים מ-0 עד k-1. כלומר יש k^3 רביעיות כאלו. ובסך הכל בכל הקבוצה A מספר האיברים הוא:

\ |A| = \sum_{k=1}^n {k^3}

נגדיר עתה קבוצה B שאיבריה הם זוגות סדורים של תת-קבוצות בנות שני איברים של קבוצת המספרים מ-0 עד n. כל תת-קבוצה כזו ניתן לאפיין למעשה כזוג סדור עם המגבלה שהאיברים בזוג שונים והגדול יותר נמצא בימין. כלומר:

\ B = \{((w,x),(y,z))| 0\le w<x\le n, 0\le y<z\le n\}

B מורכבת מזוגות של תת-קבוצות עם שני איברים הנבחרים בחופשיות, ולכן מהגדרת המקדם בינומי ומזהות (3) נובע:

\ |B| = \binom {n+1}2^2 = T_n^2

כעת נציג התאמה חד-חד-ערכית ועל מ-A ל-B:

f(h,i,j,k)=\begin{cases}((h,i),(j,k))&\mbox{if }h<i;\\((j,k),(i,h))&\mbox{if }h>i;\\((i,k),(j,k))&\mbox{if }h=i\end{cases}

הפונקציה בוודאי חד-חד-ערכית, והיא על כי לכל זוג סודר חוקי ניתן לבנות רבייעיה מתאימה.

ההתאמה מעידה כי שתי הקבוצות שוות בגודלן, כלומר:

\sum_{k=1}^n {k^3} = |A| = |B| = T_n^2

הוכחה גאומטרית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בספר "Proofs Without Words"‏ (ISBN 978-0-88385-700-7) מובאות שבע הוכחות גאומטריות שונות למשפט. אחת מהן מודגמת באיור הבא:

13+23+33+43+53+63 = (1+2+3+4+5+6)2

בכל צבע צבועים k ריבועים עם צלע באורך k. כלומר כל צבע מכסה שטח השווה ל-k^3 (כאשר במקרים הזוגיים אחד הריבועים מפוצל לשניים). כאשר מסדרים את כל השטחים יחדיו לכל 1\le k\le n נוצר ריבוע עם צלע באורך T_n, ולכן שטחו T_n^2.

הוכחה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

ראשית נבחין בכך ש-k^3 הוא הסכום של k מספרים אי-זוגיים עוקבים שהממוצע החשבוני שלהם הוא k^2. פורמלית: \sum_{i=T_{k-1}+1}^{T_k} {2i-1} = k^3.[1]

כעת נבחן את סכום האי-זוגיים מ-1 עד 2T_n-1:

\sum_{i=1}^{T_n} {2i-1} = \sum_{k=1}^{n}\sum_{i=T_{k-1}+1}^{T_k} {2i-1} = \sum_{k=1}^{n} {k^3}

למשל סכום האי זוגיים מ-1 עד 19 הוא:

1+(3+5)+(7+9+11)+(13+15+17+19) = 1+8+27+64 = 1^3+2^3+3^3+4^3

מצד שני את סכום האי-זוגיים מ-1 עד 2T_n-1 ניתן לחשב בעזרת הנוסחה לסכום טור חשבוני (או באמצעות טיעון גאומטרי) ולקבל שהוא שווה ל-T_n^2 כנדרש.

הכללות[עריכת קוד מקור | עריכה]

יאקוב ברנולי מצא נוסחה כללית לחישוב סכום חזקות כלשהן של n המספרים הראשונים:

\sum_{k=1}^n k^m = \frac{1}{m+1}\sum_{i=0}^{m}(-1)^i\binom{m+1}{i}B_in^{m+1-i}

כאשר B_i הוא מספר ברנולי ה-i.

כאשר m אי-זוגי, הסכום הוא תמיד פולינום, ללא מקדם חופשי, ב-T_n.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ בסכום יש T_k-T_{k-1} = k מחבורים (זהות (1)) והממוצע שלהם הוא אכן \frac{(2(T_{k-1}+1)-1)+(2T_k-1)}{2} = T_{k-1}+T_k = k^2 (זהות (2)) כנדרש.