משפט סטוקס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, משפט סטוקס הוא הכללה של המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי עבור יריעות חלקות. המשפט קרוי על שם ג'ורג' סטוקס והוא בעל חשיבות רבה באנליזה של שדות וקטוריים.

בהינתן יריעה דיפרנציאלית קומפקטית אוריינטבילית  \ M ותבנית דיפרנציאלית  \omega המוגדרת על  \ M מתקיים:

\int_M d\omega = \int_{\partial M} \omega\!\,

כאשר \ d\omega היא הנגזרת החיצונית של \ \omega ו-\ \partial M היא השפה של  \ M.

מקרים פרטיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

חוק סטוקס[עריכת קוד מקור | עריכה]

במרחב הווקטורי \mathbb{R}^3, ניתן לנסח את המשפט כך: \oint_{\partial A} \vec F \cdot \vec {dl}=\iint_A (\vec \nabla \times \vec F)\cdot d\hat n , כאשר  \ A היא יריעה אוריינטבילית דו־ממדית, האגף השמאלי הוא אינטגרל מסילתי של השדה על שפת  \ A, והאגף הימני הוא אינטגרל משטחי על השטף של רוטור השדה דרך  \ A. שימושה המוכר ביותר של צורה זו של משפט סטוקס (הנקראת לעתים בפי הפיזיקאים חוק סטוקס) הוא במשוואות מקסוול, או ליתר דיוק, בחוק אמפר ובחוק פאראדיי.

משפט גרין[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – משפט גרין

משפט גרין הוא מקרה פרטי של חוק סטוקס, בו השדה הווקטורי הוא \vec{F}(x,y)=(P,Q). במקרה זה בהינתן מסילה פשוטה סגורה וגזירה למקוטעין C, נקרא לשטח החסום על ידי המסילה D ויתקיים:
\oint_C (Pdx+Qdy) =\oint_C \vec{F}\cdot \vec{dl} =\iint_D (\vec{\nabla} \times \vec{F})\cdot \hat{z} dxdy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy

משפט גאוס[עריכת קוד מקור | עריכה]

מסקנה שימושית של משפט סטוקס ב־\mathbb{R}^3 היא משפט גאוס (הידוע גם כמשפט הדיברגנץ): \iiint_V(\vec\nabla\cdot\vec F )dV=\iint\limits_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset\!\supset\vec F\cdot d\hat n, כאשר  \ V הוא נפח ב־\mathbb{R}^3,  \ S=\partial V היא המעטפת הכולאת אותו, ו־\ \hat n הוא וקטור נורמלי למשטח  \ S. האגף השמאלי הוא אינטגרל נפחי של הדיברגנץ של  \ \vec F על הנפח  \ V, ואגף ימין הוא אינטגרל משטחי של השטף של  \ \vec F דרך  \ S. גם צורה זו של משפט סטוקס מופיעה במשוואות מקסוול, בחוק הנקרא חוק גאוס.

משפט הגרדיאנט (נוסחת ניוטון-ליבנייץ)[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפט הגרדיאנט הוא הכללה של נוסחת ניוטון ליבנייץ ואומר שאם \gamma : [a,b]\to \mathbb{R}^n מסילה גזירה ו- f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} פונקציה סקלרית דיפרנציאבילית אזי:
\int_\gamma (\vec{\nabla} f)\cdot \vec{dr}=f(\gamma(b))-f(\gamma(a))

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]