משפט פרמה (לנקודות קיצון)

בחשבון אינפיניטסימלי, משפט פרמה קובע כי אם פונקציה גזירה בנקודה מסוימת, ובאותה הנקודה יש לה נקודת קיצון (מקסימום מקומי או מינימום מקומי), הנגזרת שווה לאפס באותה נקודה. כלומר, שיפוע המשיק לפונקציה בנקודה זו הוא אפס. יש לשים לב כי ההפך לא תמיד נכון - נגזרת יכולה להיות שווה לאפס גם בנקודה שאינה מקסימום או מינימום, אלא נקודת פיתול או אחרת. בנוסף, נקודת קיצון יכולה להתקיים גם במקרה בו הנגזרת לא מוגדרת. כלומר, בנקודה בה הפונקציה אינה גזירה.
זה אינו המשפט המפורסם המוכר כמשפט האחרון של פרמה.

ניסוח המשפט

תהי $\ f$ פונקציה המוגדרת בקטע $\left(a,b\right)$ ותהי $x_0\isin (a,b)$ נקודת קיצון (מינימום מקומי או מקסימום מקומי) בה הפונקציה גזירה, אז מתקיים $f'\left(x_0\right)=0$.

הוכחה

נוכיח במקרה שבו $\ x_0$ היא נקודת מקסימום מקומי. ההוכחה למקרה השני דומה.

מאחר ש-$\ x_0$ נקודת מקסימום מקומי, הרי שקיימת סביבה $\ U=(x_0-\delta,x_0+\delta)$ המוכלת כולה בקטע $\ (a,b)$, כך שלכל $x\isin U$ מתקיים $f(x)\le f(x_0)$. מכאן כי עבור כל $\ \Delta x$ שעבורו $x_0+\Delta x\isin U$ מתקיים $f(x_0+\Delta x)\le f(x_0)$.

כעת נסתכל בנגזרות מימין ומשמאל של הפונקציה בנקודה $\ x_0$:

$f'_+(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\le 0$

זאת כי המונה תמיד שלילי או אפס, כפי שראינו, והמכנה תמיד חיובי, כי השאיפה לאפס היא מצד ימין.

לעומת זאת:

$f'_-(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}\ge 0$

כי הפעם המכנה שלילי תמיד.

מאחר שהפונקציה גזירה בנקודה $\ x_0$ הרי שמתקיים $f'_-\left(x_0\right)=f'_+(x_0)$ ולכן בהכרח $f'\left(x_0\right)=0$.

הכללה למקרה מרובה המשתנים

ניתן להכליל את המשפט למקרה של פונקציה סקלרית מרובת משתנים $\ f(x_1,\dots ,x_n):\mathbb{R}^n\rarr\mathbb{R}$. אם לפונקציה יש מקסימום בנקודה כלשהי, בפרט יהיה לה מקסימום כאשר נסתכל על הפונקציה כפונקציה של משתנה יחיד ונתייחס לשאר המשתנים בתור קבועים, ועל כן על פי משפט פרמה הנגזרת החלקית על פי משתנה זה תתאפס. ניתן לעשות זאת עבור כל המשתנים, ועל כן הנגזרת החלקית עבור כל אחד מהמשתנים מתאפסת בנקודה זו. פירוש הדבר הוא שהגרדיאנט של הפונקציה בנקודת הקיצון יהיה וקטור האפס.