משפט קושי (תורת הטורים)

משפט קושי לטורים קובע שמכפלה של טורים מתכנסים בהחלט, כאשר מפרשים אותה כטור, מתכנסת בהחלט אף היא, וסכומה הוא מכפלת הסכומים של הטורים.

ניסוח פורמלי

יהיו $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ ו-$\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ טורים מתכנסים בהחלט ל-A ול-B בהתאמה, אזי הטור $\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}$ מתכנס אף הוא בהחלט וסכומו הוא AB. אלא שטור הוא סכום של סדרה, וכדי שלסכום המכפלות תהיה משמעות של טור, יש לסדר את הרכיבים $a_{i}b_{j}$ בסדר כלשהו, למשל כך שהרכיבים עם i+j קטן יותר מופיעים מוקדם יותר.

משפט מרטן

משפט קושי עוסק בטור המכפלה ללא סדר מוגדר על האיברים. הוא קרוב ברוחו למשפט מרטן, העוסק באותו טור עם סדר האיברים הטבעי, כדלקמן. יהיו $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ ו-$\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ טורים מתכנסים, שאחד מהם מתכנס בהחלט. אז הטור שמוגדר $\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i})$ מתכנס אף הוא בהחלט וסכומו הוא AB.

הקשר בין שני הטורים הוא שהטור המתואר במשפט מרטן מתקבל מהטור המתואר במשפט קושי באמצעות הכנסת סוגריים לסידור נתון של הטור. בדרך כלל הכנסת סוגריים לטור ניתנת ללא שינוי הסכום, אם מספר האיברים בכל סוגריים חסום והאיבר הכללי שואף לאפס או אם כל האיברים בכל סוגריים שווי-סימן. משפט מרטן קובע שהכנסת סוגריים לטור המתואר במשפט קושי מותרת בהינתן הסדר המתואר ללא התנאים הללו.

הוכחה של משפט קושי

כדי להוכיח שהטור $\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}$ מתכנס בהחלט נבחר סידור כלשהו של טור הערכים המוחלטים $\sum _{i,j\in \mathbb {N} }\left|a_{i}b_{j}\right|$ (כדוגמת הקונבולוציה שהוזכרה לעיל); כעת מכיוון שכל האיברים של טור הערכים המוחלטים אי-שליליים, הרי שסדרת הסכומים החלקיים עולה, ולפיכך מספיק להראות שהיא חסומה כדי להסיק שהיא מתכנסת. נניח כי נתון סכום חלקי כלשהו, אפשר לחסום כל סכום חלקי של טור המכפלה באמצעות מכפלת הסכומים החלקיים $(\sum _{i=0}^{n}\left|a_{i}\right|)(\sum _{j=0}^{n}\left|b_{j}\right|)$, כאשר n הוא אינדקס מקסימלי בין כל איבר בסכום החלקי הנתון של המכפלה. ביטוי זה חוסם את הסכום החלקי מכיוון שכל הקומבינציות של המכפלות האפשריות מופיעות בו, והוא כמובן חסום על ידי המכפלה $\left(\sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }\left|b_{n}\right|\right)$. מכאן שהטור $\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}$ מתכנס בהחלט ובפרט מתכנס, כלומר סדרת הסכומים החלקיים שלו (בסידור כלשהו) היא סדרה מתכנסת.

מהעובדה שמדובר בסדרה מתכנסת נובע שכל תת-סדרה שלה מתכנסת לאותו גבול, ולכן מספיק למצוא תת-סדרה כלשהי שמתכנסת ל-AB. אם מתבוננים בסידור של איברי המכפלה מהצורה הבאה: $a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{1}+a_{1}b_{0})+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{2}+a_{2}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{2}b_{0})+...$, ולוקחים תת-סדרה מהצורה $\sum _{i=0}^{n}b_{i}\sum _{j=0}^{n}a_{j}$, ניתן להסיק שהגבול ב-n ששואף לאינסוף הוא AB.