משפט קיילי-המילטון

משפט קיילי-המילטון הוא משפט באלגברה לינארית, הקובע שכל מטריצה ריבועית A (מעל שדה) מאפסת את הפולינום האופייני שלה $\ f(\lambda) = |\lambda I - A|$ , כלומר, מתקיים $\ f(A) = 0$ . בפרט, הפולינום המינימלי של מטריצה מחלק את הפולינום האופייני שלה. המשפט קרוי על שמם של המתמטיקאים ארתור קיילי וויליאם המילטון. במאמר מ-1858 הראה קיילי שהמשפט נכון עבור מטריצות בגודל $\ 2\times 2$ , והוא מדווח כי בדק את הטענה גם עבור מטריצות בגודל $\ 3\times 3$ ; עם זאת, הוא כותב, "לא מצאתי לנכון לטרוח על הוכחה פורמלית של המשפט עבור מטריצה מכל גודל". מעט אחר-כך גילה המילטון את המשפט עבור מטריצות בגודל 4, במהלך מחקריו על אלגברת הקווטרניונים. את המקרה הכללי הוכיח פרדיננד גאורג פרובניוס, ב- 1878.

המשפט תקף כאשר מקדמי המטריצה מגיעים מחוג קומוטטיבי כלשהו, ונובע ממנו שכל חוגי המטריצות $\ \operatorname{M}_n(C)$ הם חוגי זהויות פולינומיות.

שימושים [עריכה]

פתרון פולינום של מטריצה: כדי להציב מטריצה A בפולינום $G(A)$ , מפרקים אותו באמצעות חילוק אלגבראי בפולינום האופייני לצורה $F(A)*S(A)+R(A)$ , כאשר $F(A)$ הוא הפולינום האופייני של המטריצה, $S(A)$ הוא תוצאת החילוק, ו- $R(A)$ הוא השארית. מכיוון שהצבה של A ב $F(A)$ נותנת 0, הפולינום שווה ל- $R(A)$ . לכן, במקום להציב את A ב- $G(A)$ , ניתן להציב את A ב- $R(A)$ , שהוא ממעלה יותר נמוכה.