משפט קסורטי-ויירשטראס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט קסורטי-ויירשטראס הוא משפט מתמטי מתחום הפונקציות המרוכבות, הנותן מידע בדבר תמונת פונקציה הולומורפית בסביבה של נקודת סינגולריות עיקרית.

ניסוח[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \ f פונקציה הולומורפית בתחום \ U, מלבד נקודת סינגולריות עיקרית אחת \ z_0. משפט זה קובע כי בכל סביבה \ V \subseteq U של \ z_0, מקבלת \ f ערכים קרובים כרצוננו לכל נקודה במישור המרוכב.

בניסוח אחר, לכל סביבה \ V \subseteq U של \ z_0, התמונה \ f(V) צפופה במישור המרוכב.

המשפט קובע שהתנאי הנ"ל הינו תנאי הכרחי לכך שהנקודה היא נקודה סינגולרית עיקרית אך ניתן לראות שהתנאי לא רק הכרחי אלא גם מספיק. כלומר הנקודה היא סינגולרית עיקרית אם ורק אם הפונקציה מקבלת בכל סביבה לא מנוונת של הנקודה ערכים קרובים כרצוננו לכל נקודה במישור המרוכב.

משפט שתורם מידע נוסף במקרה זה הוא משפט פיקארד, הוא גרסה חזקה יותר של המשפט הנ"ל, האומר שתמונת פונקציה אנליטית בסביבה נקובה של נקודת סינגולריות עיקרית היא המרחב המרוכב כולו אולי פרט לנקודה אחת.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ההוכחה היא על דרך השלילה.

נניח בשלילה, שקיימת סביבה S של הנקודה z_{0}, בה f אנליטית פרט לנקודת סינגולריות עיקרית z_{0}, ו-f(S) לא צפופה במישור המרוכב.

כידוע, קבוצה היא צפופה במרחב אם ורק אם היא פוגשת כל קבוצה פתוחה. לכן, קיימים a\in C ו-r>0, כך ש-f(S)\cap B(a,r)=\phi (כאשר B(a,r) הוא כדור פתוח ברדיוס r סביבה הנקודה a). לכן, לכל z\in S, מתקיים f(z)\notin B(a,r), לכן |f(z)-a|>r. לכן, בקבוצה S מוגדרת הפונקציה r(z)=\frac { 1 }{ f(z)-a } . מהגדרתה, הפונקציה אנליטית באופן מיידי בכל S פרט אולי ל-z_{0}. באשר ל-z_{0},הפונקציה חסומה סביבה: |r(z)|<\frac { 1 }{ r } , לכן z_{0} נקודה סינגולרית סליקה של r. לכן קיים L \in C, כך ש\lim _{ z\rightarrow { z }_{ 0 } }{ r(z) } =L.

נפריד למקרים - אם L \neq 0, אז מכך ש-f(z)=a+\frac { 1 }{ r(z) } נקבל \lim _{ z\rightarrow { z }_{ 0 } }{ f(z) } =a+\frac { 1 }{ L } . אחרת, אם L=0 נקבל כי \lim _{ z\rightarrow { z }_{ 0 } }{ f(z) } =\infty . שני המקרים מובילים לסתירה, שכן גבול הפונקציה בנקודה סינגולרית עיקרית לא קיים כלל.

דוגמה[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • נביט בפונקציה האנליטית { e }^{ \frac { 1 }{ z }  }:\mathbb{C}-\{ 0\} \rightarrow \mathbb{C}. ניתן לוודא על ידי פתרון ישיר, כי תמונת הפונקציה היא \mathbb{C}-\{ 0\} . תוצאה זו צפויה ממשפט פיקארד, שכן לא ייתכן שהנקודה 0 תתקבל, ולכן כל שאר הנקודות חייבות להתקבל. בפרט, התמונה ודאי צפופה ב-\mathbb{C}.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

משפטי פיקארד