משפט קריין-מילמן

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט קריין מילמן הוא משפט באנליזה פונקציונלית העוסק בתכונות של קבוצות קמורות במרחב וקטורי טופולוגי. ממקרה פרטי של המשפט נובע שכל מצולע קמור נקבע על ידי הקודקודים שלו - כלומר מספיק לדעת את קודקודי ההמצולע כדי לקבוע את צורתו באופן יחיד. תוצאת המשפט אינה נכונה כאשר לא מגבילים את המצולע להיות קמור, כיוון שניתן לצייר מספר מצולעים שונים (לא קמורים) שיש להם את אותם קודקודים.

באופן פורמלי: אם X מרחב וקטורי טופולוגי (האוסדורף) קמור מקומית, ו-K היא תת-קבוצה קמורה וקומפקטית של X, אז K הוא הסגור של הקמור של קבוצת הנקודות הקיצוניות שלו:

K = Cl( conv (ext(K) )

כאשר עבור קבוצה קמורה A, נקודה קיצונית היא נקודה בקבוצה שאיננה נמצאת ב"אמצע" בין שתי נקודות בקבוצה A, או באופן פורמלי: x \in A נקודה קיצונית אם לכל 0 < \lambda < 1, a , b \in A מתקיים x \neq \lambda a + (1 - \lambda b).

כיוון אחד של המשפט הוא ברור - אוסף הנקודות הקיצוניות של K הוא תת-קבוצה של K. K קמורה ולכן הקמור שלו מוכל ב-K. K קומפקטית, ובפרט סגורה, ולכן הסגור של הקמור מוכל ב-K. הכיוון המעניין הוא הכיוון ההפוך - משפט קריין מילמן טוען שלכל קבוצה קומפקטית קמורה K יש מספיק נקודות קיצוניות כדי שניתן יהיה לשחזר אותה מתוכן.

המשפט המקורי (בגרסה מעט פחות כללית מהגרסה הזו) הוכח על ידי מרק קריין ודוד מילמן. מינקובסקי הראה לפניהם שבכל מרחב ממימד סופי K הוא הקמור של הנקודות הקיצוניות שלו. קריין ומילמן הראו שכדי להרחיב את התוצאה למרחבים אינסופיים יש להוסיף את הסגור.