משפט רליך-קונדרכוב

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

באנליזה פונקציונלית, משפט רליך-קונדרכוב הוא משפט לגבי שיכון קומפקטי (כלומר, שיכון רציף שהוא גם אופרטור קומפקטי) בין שני מרחבי סובולב. המשפט קרוי על שם המתמטיקאי האיטלקי-אמריקאי פרנץ רליך והמתמטיקאי הרוסי ולדימיר יוסיפוביץ' קונדרכוב.

ניסוח המשפט[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהי \Omega \subset \mathbb{R}^n קבוצה פתוחה, חסומה וליפשיצית ויהי 1\le p<n.

נגדיר p^{*} = \frac{n p}{n - p}.

אזי מרחב הסובולב W^{1,p}(\Omega) ניתן לשיכון רציף במרחב ה-Lp  L^{P^*}(\Omega) ולשיכון קומפקטי במרחב  L^q(\Omega) לכל 1\le q\le p^*.

כלומר, W^{1,p}(\Omega)\hookrightarrow L^{p^*}(\Omega) וגם 1 \leq q < p^{*}\implies W^{1, p} (\Omega) \subset \subset L^{q} (\Omega) .

תוצאות[עריכת קוד מקור | עריכה]

היות ושיכון הוא קומפקטי אם ורק אם אופרטור השיכון (הזהות) הוא אופרטור קומפקטי, נובע ממשפט רליך-קונדרכוב שלכל סדרה חסומה במידה שווה במרחב W^{1,p}(\Omega) קיימת תת-סדרה המתכנסת במרחב L^q(\Omega). המסקנה הזאת ידועה כמשפט הבחירה של רליך-קונדרכוב.

משפט רליך-קונדרכוב שימושי להוכחת אי-שוויון פואנקרה[1] לפיו לכל u\in W^{1,p}(\Omega) (כאשר \Omega עומד בתנאי משפט רליך-קונדרכוב) מקיים:

\| u - u_{\Omega} \|_{L^{p} (\Omega)} \leq C \| \nabla u \|_{L^{p} (\Omega)}

כאשר הקבוע C תלוי רק בערך p ובתכונות הגאומטריות של \Omega וכן

u_{\Omega} \overset{\mbox{def}}{=} \frac{1}{\mathrm{vol} (\Omega)} \int_{\Omega} u(x) \, \mathrm{d} x

הוא הערך הממוצע של u בתחום \Omega.

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ Evans, Lawrence C. (2010). “§5.8.1”, Differential Equations, Partial, 2nd, 290. ISBN 0-8218-4974-3.