משפט שטיינר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
מקרה כללי בו אפשר ליישם את משפט שטיינר
דוגמה לנתוני מומנט ההתמד של שטחים מסוימים סביב ציר העובר במרכז הכובד שלהם.

משפט שטיינר (נקרא גם משפט הצירים המקבילים) הוא משפט במכניקה העוסק במומנטי התמד של המסה ומומנט התמד של שטח חתך. אם ידוע לנו מומנט ההתמד של גוף או של שטח סביב ציר העובר דרך מרכז המסה שלו, אזי נוכל למצוא את מומנט ההתמד שלו בקלות סביב כל ציר מקביל אחר המרוחק מרחק \ r מהציר הראשון באמצעות משפט שטיינר. בנוסף, נפוץ השימוש במשפט ע"מ לחשב במדויק שינויים למומנט התמד סביב ציר נתון בשל שינוי מרכז המסה (הוספת\החסרת משקל).

משפט שטיינר מנוסח עבור מומנטי התמד של המסה:

:\ I_s = I_{cm} + m r^2

משפט שטיינר מנוסח באופן דומה עבור מומנטי ההתמד של השטח:

:\ I_s = I_{c} + A r^2
  • \ I_s - הוא מומנט ההתמד סביב ציר נתון S.
  • \ I_{c} - הוא מומנט ההתמד סביב ציר C.
  • \ I_{cm} - הוא מומנט ההתמד של הגוף סביב ציר C העובר במרכז המסה שלו.
  • \ m - היא מסת הגוף שאת מומנט ההתמד שלו מחשבים.
  • \ A - הוא שטח החתך שאת מומנט ההתמד שלו מחשבים.
  • \ r - הוא המרחק בין ציר \ I_s לבין ציר \ I_{cm}

מומנט ההתמד עבור ציר המקביל לציר שמומנט ההתמד עבורו ידוע, שווה לאותו מומנט התמד ועוד מסת הגוף או שטח הגוף כפול המרחק בין הצירים בריבוע.

משפט שטיינר שימושי גם במכניקה של גוף תלת ממדי וגם בתחום הסטטיקה, בהנדסה אזרחית ובהנדסת מכונות עבור חישוב מומנטי התמד סביב צירים כלשהם כאשר ידוע מומנט ההתמד סביב ציר מסוים, בדרך כלל מרכז המסה או מרכז הכובד. נתוני מומנטי ההתמד סביב מרכז הכובד מופיעים בלוחות טכניים.

המשפט נקרא על שם המתמטיקאי השווייצרי יאקוב שטיינר.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

עבור גוף קשיח כלשהו, נניח, ללא הגבלת הכלליות, כי במערכת צירים קרטזית המרחק האנכי מציר s, לציר סיבוב מקביל לו, העובר דרך מרכז המסה, הינו לאורך ציר ה-x ,כך שציר הסיבוב מקביל לציר ה-z. כמו כן, לצורך נוחות נניח כי ראשית מערכת הצירים נמצאת במרכז המסה של הגוף. מומנט ההתמד של הגוף, יחסית למרכז המסה הינו לכן:

I_{cm} = \int{(x^2 + y^2)} dm

מומנט האינרציה ביחס לציר הנתון s (המצוי במרחק \ r לאורך ציר ה-x, ממרכז המסה) הינו:

I_s = \int{((x - r)^2 + y^2)} dm

נפתח את הסוגרים ונקבל:

I_s = \int{(x^2 + y^2)} dm + r^2 \int dm - 2r\int{x} dm

האיבר הראשון הינו \ I_{cm}, האיבר השני הינו \ mr^2, ואילו האיבר השלישי מתאפס משום ש-x נמדד ממרכז המסה (אינטגרל זה שווה בעצם למיקום רכיב ציר ה-x של מרכז המסה, ולכן ביחס למרכז המסה, מיקומו = 0).

כלומר נקבל את הביטוי:

 I_s = I_{cm} + mr^2\,

הכללה עבור טנזור האינרציה[עריכת קוד מקור | עריכה]

ניתן להוכיח באופן דומה כי בהינתן Jij טנזור ההתמד (טנזור האינרציה) ביחס לנקודה P שרירותית ו- Iij, טנזור האינרציה ביחד למרכז המסה G, מתקיים:

J_{ij}=I_{ij} + m(\|\boldsymbol{PG}\|^2 \delta_{ij}-PG_iPG_j)\!

כאשר

\boldsymbol{PG}=PG_1\boldsymbol{e_1}+PG_2\boldsymbol{e_2}+PG_3\boldsymbol{e_3}\!

הינו הווקטור המחבר בין P ל- G, ו-\delta_{ij}\! הוא הדלתא של קרונקר.

נשים לב שאם טנזור ההתמד הינו אלכסוני, נקבל את המקרה הפשוט המצוין לעיל.

(הערה - הווקטורים העצמיים אשר מלכסנים את טנזור ההתמד התלת ממדי הם הצירים הראשיים של המערכת. במקרה ולגוף יש סימטריות לסיבוב, צירי הסיבוב יתלכדו עם הצירים הראשיים).

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Sybil P. Parker, McGraw Hill Encyclopedia of Engineering, 1983. page 691.
  • McGraw-Hill Dictionary of Scientific and Technical Terms, 6th ed. by The McGraw-Hill Companies, 2003
  • Irving H. Shames, Engineering Mechanics, Prentic - Hill International Inc. 1970

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]