משתמש:Aharon100/טיוטה

מערכת משוואות לינאריות עם פרמטרים

מערכת משוואות לינאריות עם פרמטרים, כמו:

${\begin{cases}y=m_{1}x+n_{1}\\y=m_{2}x+n_{2}\end{cases}}$

בסוג זה של משוואות אנו צרכים למצוא את הפתרון ולפי המשמעות הגרפית להגיע לדברי הבאים: פתרון יחיד, אין פתרון, אין סוף פתרונות.

דרכי פתרון לפי רמות

רמה ראשונה של סוג המערכת הנ"ל: ברמה זו מופיעים פרמטרים שאינם מוגבלים בערכים מסוימים. לכן, הפתרון אינו דורש חקירה. לדוגמה המערכת:

${\begin{cases}2x+3y=7a\\x-2y=-7a\end{cases}}$

דרך פתרון:

${\begin{cases}2x+3y=7a\\x-2y=-7a\end{cases}}$

${\begin{cases}2x+3y=7a\\-2x+4y=14a\end{cases}}$

$7y=21a$

$y=3a$

$\Downarrow$

$x=-a$

$(-a,3a)$

רמה שנייה: ברמה זו הפרמטרים מוגבלים בערכים מסוימים. דרך פתרון ראשונה: אנחנו פותרים את המערכת וקובעים, במהלך הפתרון, תחומי הגדרה לפרמטרים. בסוף הפתרון, אנחנו בודקים על-ידי הצבה, מה קורה בערכים שפסלנו בדרך.

לדוגמה:

${\begin{cases}x+ay=a^{2}\\x+2y=5a-6a\end{cases}}$

נפתור באמצעות השוואת מקדמים:

${\begin{cases}x+ay=a^{2}\\x+2y=5a-6a\end{cases}}$

$(a-2)y=a^{2}-5a+6$

$y={\dfrac {(a-2)(a-3)}{(a-2)}}$

$y=a-3$

$\Downarrow$

$x+a(a-3)=a^{2}$

$x=3a$

$(3a,a-3)$

דרך פתרון שנייה: דרך זו מתאימה לשאלות בהן מתבקשת רק חקירה ללא מתן הפתרון .

${\begin{cases}x+ay=a^{2}\\x+2y=5a-6a\end{cases}}$

$(a-2)y=a^{2}-5a+6$

$y={\dfrac {(a-2)(a-3)}{(a-2)}}$

$y=a-3$

$\Downarrow$

$x+a(a-3)=a^{2}$

$x=3a$

$(3a,a-3)$

המשמעות הגרפית של הפתרונות

ישרים יכולים:

1. להיחתך בנקודה אחת.

2. להיות מקבילים.

3. להתלכד.

המצב של הישרים ישפיע על מספר הפתרונות של המערכת. עבור מערכת הנתונה בצורה המפורשת מספר הפתרונות נקבע ע"פ התנאים הבאים: פתרון אחד כאשר הישרים חותכים אחד את השני בנקודה אחת למערכת יהיה פתרון אחד ויחיד, והמשמעות הגאומטרית היא שלישרים שיפוע שונה. מבחינת המשוואות, למשוואות יהיה פתרון יחיד כאשר: אף פתרון כאשר הישרים מקבילים למערכת לא יהיה פתרון, והמשמעות הגיאומטרית היא שלשני הישרים שיפוע זהה אך הם אינם חותכים את ציר y באותה נקודה. מבחינת המשוואות, למערכת לא יהיה פתרון כאשר: אינסוף פתרון כאשר הישרים מתלכדים למערכת יהיו אינסוף פתרונות, והמשמעות הגיאומטרית היא שלשני הישרים שיפוע זהה והם חותכים את ציר y באותה נקודה. מבחינת המשוואות, למערכת יהיו אינסוף פתרונות כאשר:

חקירה

כאשר המערכת נתונה בצורה הכללית , ניתן לנסח תנאים על המקדמים A, B ו- C מתוך הקשר בינם לבין המקדמים של של המשוואה המפורשת, m ו- n: 1. פתרון יחיד על מנת שלמערכת יהיה פתרון יחיד צריך שיתקיים: אם נכפיל משוואה זו ב- ${\dfrac {B_{1}}{A_{2}}}$

תתקבל המשוואה : ${\dfrac {A_{1}}{A_{2}}}\neq {\dfrac {B_{1}}{B_{2}}}$ כלומר: אם היחס בין מקדמי המשתנים של x ו- y, שונה – למערכת פתרון יחיד

2. אף פתרון- על מנת שלמערכת לא יהיה פתרון כלל צריכים להתקיים שני תנאים : $m_{1}={\dfrac {A_{1}}{B_{1}}}={\dfrac {A_{2}}{B_{2}}}=m_{2}$

וגם $n_{1}={\dfrac {C_{1}}{B_{1}}}\neq {\dfrac {C_{2}}{B_{2}}}=n_{2}$

דוגמה לחקירה היא התרגיל הבא:

${\begin{cases}x+(4-a)y=a-1\\x(2-2a)-4y=-a\end{cases}}$

${\begin{cases}-(2-2a)x-(2-2a)(4-a)y=-(2-2a)(a-1)\\x(2-2a)-4y=-a\end{cases}}$

$(-2a^{2}+10a-12)y=2a^{2}-5a+2$

תחום ההגדרה של התרגיל:

$a\neq 2a\neq 3$

$y={\dfrac {(a-2)(2a-1)}{(6-2a)(a-2)}}$

$y=a-3$

$\Downarrow$

$x=a-1-(a-4){\dfrac {(2a-1)}{2(3-a)}}$

${\dfrac {a+2}{2(a-3)}}$

פתרון יחיד:

$({\dfrac {a+2}{2(a-3)}},a-3)$