נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)

נוסחת אוילר היא נוסחה יסודית באנליזה מרוכבת, הקושרת את הפונקציה המעריכית הטבעית לפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס. הנוסחה נקראת על-שמו של לאונרד אוילר.

הנוסחה קובעת כי: $\ e^{i \theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta}$ לכל $\ \theta$ ממשי, כאשר e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו-i הוא היחידה המדומה.

זהות אוילר

כאשר מציבים בנוסחה את $\ \pi$ כערכה של הזווית $\ \theta$, מתקבל: $\ e^{i \pi} = -1$ או $\ 1 + e^{i \pi} = 0$, תוצאה הקרויה זהות אוילר ומקשרת בצורה פשוטה בין 5 קבועים מתמטיים בסיסיים.

הקשר להצגה קוטבית

הצגה גאומטרית של נוסחת אוילר

בהינתן מספר מרוכב $z$ השונה מאפס, ניתן למתוח קטע $l$ במישור המרוכב בין ראשית הצירים לנקודה $z$. האורך של $l$, $r$, מכונה הערך המוחלט של $z$, ואילו הזווית (ברדיאנים) בין הציר הממשי ל-$l$ (נגד כיוון השעון), $\theta$, מכונה הארגומנט של $z$. הזוג $(r,\theta)$ מכונה ההצגה הקוטבית של $z$.

אם נציג את $z$ בצורה $z = x+iy$, אז $x$ ו-$y$ הם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית שיתרו הוא $l$. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות מתקיים $x = r\cos \theta$ ו-$y = r\sin \theta$. לכן לפי נוסחת אוילר:

$z = x+iy = r(\cos \theta+i\sin\theta) = re^{i\theta}$

הצגה זו של מספר מרוכב נוחה לשימוש במקרים רבים. למשל כאשר כופלים אותם: $z_1\cdot z_2 = r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$.

מסקנה מיידית מהצגה זו היא משפט דה-מואבר הקובע כי $\ (\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx)$ ל-n טבעי ו-x ממשי. לפי נוסחת אוילר זהו פשוט השוויון $(e^{ix})^n = e^{i(nx)}$.

משמעות אלגברית

מנוסחת אוילר נובע שההעתקה $\ f(x) = e^{ix} = \cos x +i \sin x$ היא הומומורפיזם של חבורות מן הישר הממשי כחבורה ביחס לפעולת החיבור, אל מעגל היחידה במישור המרוכב כחבורה ביחס לפעולת הכפל. זהו אפימורפיזם שאיננו איזומורפיזם שכן $f(x) = f(x+2\pi)$.

הגרעין של $f$ הוא הקבוצה $2\pi\mathbb{Z}$ ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון מעגל היחידה איזומורפי ל-$\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$, או אחרי נרמול $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$.

הוכחות

קיימות מספר הוכחות לנוסחה, שמתבססות על ההגדרה של פונקציית האקספוננט המרוכבת לפי טור טיילור של הפונקציה הממשית או כפונקציה המקיימת את התכונות הידועות של הפונקציה הממשית.

באמצעות טור טיילור

זוהי הוכחה של נוסחת אוילר באמצעות פיתוח טור טיילור וכן העובדות הבסיסיות אודות החזקות של $\ i$:

$\begin{align} i^{4n} &{}= 1, \quad & i^{4n+1} &{}= i, \quad & i^{4n+2} &{}= -1, \quad & i^{4n+3} &{}= -i \end{align}$

לכל n שלם. אפשר לבטא את הפונקציות הממשיות $\ e^{x}$,‏ $\ \cos(x)$ ו-$\ \sin(x)$ באמצעות פיתוח טור טיילור שלהן סביב 0:

$\begin{align} e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\ \cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\ \sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots. \end{align}$

עבור מספרים מרוכבים נגדיר את הפונקציות האלה באמצעות הטורים הללו, על ידי החלפת המספר הממשי $\ x$ במספר המדומה $\ iz$ כאשר $\ z$ ממשי. לפי הגדרה זאת אפשר לראות ש:

$\begin{align} e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\ &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\ &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\ &{}= \cos z + i\sin z \end{align}$

אם נחליף את $\ z$ ב-$\ \theta$ נקבל את הניסוח שכתבנו בתחילת הערך.

באמצעות חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי

נגדיר את הפונקציה $\ f(x)$, במשתנה ממשי $\ x$, בתור:

$f(x) = (\cos x + i\sin x)\cdot e^{-ix} \$

הנגזרת של (f(x, לפי חוק המכפלה, היא:

$\begin{align} \frac{d}{dx}f(x) &{}= (\cos x + i\sin x)\cdot\frac{d}{dx}e^{-ix} + \frac{d}{dx}(\cos x + i\sin x)\cdot e^{-ix} \\ &{}= (\cos x + i\sin x)(-i e^{-ix}) + (-\sin x + i\cos x)\cdot e^{-ix} \\ &{}= (-i\cos x - i^2\sin x)\cdot e^{-ix} + (-\sin x + i\cos x)\cdot e^{-ix} \quad \quad \quad (i^2=-1) \\ &{}= (-i\cos x + \sin x - \sin x + i\cos x)\cdot e^{-ix} \\ &{}= 0 \end{align}$

לכן, $\ f(x)$ חייבת להיות פונקציה קבועה ביחס ל-$\ x$. משום ש-$\ f(0)$ ידוע, הקבוע ש- $\ f(x)$ שווה אליו עבור כל $\ x$ ממשי גם ידוע. כלומר:

$(\cos x + i\sin x)\cdot e^{-ix} = f(x) = f(0) = (\cos 0 + i\sin 0)\cdot e^0 = 1 \,$.

על ידי הכפלת שני הצדדים ב-$\ e^{ix}$ ושימוש בשוויון

$e^{-ix} \cdot e^{ix} = e^{-ix \, + \, ix} = e^0 = 1 \,$

נקבל כי:

$e^{ix} = \cos x + i \sin x \$.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', נוסחת אוילר, ואיך היא קשורה למתנד הרמוני, באתר "לא מדויק"