נוסחת אוילר (אנליזה מרוכבת)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

נוסחת אוילר היא נוסחה יסודית באנליזה מרוכבת, הקושרת את הפונקציה המעריכית הטבעית לפונקציות הטריגונומטריות סינוס וקוסינוס. הנוסחה נקראת על-שמו של לאונרד אוילר.

הנוסחה קובעת כי: \ e^{i \theta} = \cos{\theta} + i \sin{\theta} לכל \ \theta ממשי, כאשר e הוא בסיס הלוגריתם הטבעי ו-i הוא היחידה המדומה.

זהות אוילר[עריכת קוד מקור | עריכה]

כאשר מציבים בנוסחה את \ \pi כערכה של הזווית \ \theta , מתקבל: \ e^{i \pi} = -1 או \ 1 + e^{i \pi} = 0 , תוצאה הקרויה זהות אוילר ומקשרת בצורה פשוטה בין 5 קבועים מתמטיים בסיסיים.

הקשר להצגה קוטבית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הצגה גאומטרית של נוסחת אוילר

בהינתן מספר מרוכב z השונה מאפס, ניתן למתוח קטע l במישור המרוכב בין ראשית הצירים לנקודה z. האורך של l, r, מכונה הערך המוחלט של z, ואילו הזוויתרדיאנים) בין הציר הממשי ל-l (נגד כיוון השעון), \theta, מכונה הארגומנט של z. הזוג (r,\theta) מכונה ההצגה הקוטבית של z.

אם נציג את z בצורה z = x+iy, אז x ו-y הם אורכי הניצבים במשולש ישר-זווית שיתרו הוא l. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות מתקיים x = r\cos \theta ו-y = r\sin \theta. לכן לפי נוסחת אוילר:

z = x+iy = r(\cos \theta+i\sin\theta) = re^{i\theta}

הצגה זו של מספר מרוכב נוחה לשימוש במקרים רבים. למשל כאשר כופלים אותם: z_1\cdot z_2 = r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}.

מסקנה מיידית מהצגה זו היא משפט דה-מואבר הקובע כי \ (\cos x+i\sin x)^n=\cos(nx)+i\sin(nx) ל-n טבעי ו-x ממשי. לפי נוסחת אוילר זהו פשוט השוויון (e^{ix})^n = e^{i(nx)}.

משמעות אלגברית[עריכת קוד מקור | עריכה]

מנוסחת אוילר נובע שההעתקה \ f(x) = e^{ix} = \cos x +i \sin x היא הומומורפיזם של חבורות מן הישר הממשי כחבורה ביחס לפעולת החיבור, אל מעגל היחידה במישור המרוכב כחבורה ביחס לפעולת הכפל. זהו אפימורפיזם שאיננו איזומורפיזם שכן f(x) = f(x+2\pi).

הגרעין של f הוא הקבוצה 2\pi\mathbb{Z} ולכן לפי משפט האיזומורפיזם הראשון מעגל היחידה איזומורפי ל-\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}, או אחרי נרמול \mathbb{R}/\mathbb{Z}.

הוכחות[עריכת קוד מקור | עריכה]

קיימות מספר הוכחות לנוסחה, שמתבססות על ההגדרה של פונקציית האקספוננט המרוכבת לפי טור טיילור של הפונקציה הממשית או כפונקציה המקיימת את התכונות הידועות של הפונקציה הממשית.

באמצעות טור טיילור[עריכת קוד מקור | עריכה]

זוהי הוכחה של נוסחת אוילר באמצעות פיתוח טור טיילור וכן העובדות הבסיסיות אודות החזקות של \ i:

\begin{align}
i^{4n} &{}= 1, \quad &
i^{4n+1} &{}= i, \quad &
i^{4n+2} &{}= -1, \quad &
i^{4n+3} &{}= -i
\end{align}

לכל n שלם. אפשר לבטא את הפונקציות הממשיות \ e^{x},‏ \ \cos(x) ו-\ \sin(x) באמצעות פיתוח טור טיילור שלהן סביב 0:

 \begin{align}
 e^x &{}= 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
 \cos x &{}= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\
 \sin x &{}= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots.
\end{align}

עבור מספרים מרוכבים נגדיר את הפונקציות האלה באמצעות הטורים הללו, על ידי החלפת המספר הממשי \ x במספר המדומה \ iz כאשר \ z ממשי. לפי הגדרה זאת אפשר לראות ש:

\begin{align}
 e^{iz} &{}= 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots \\
        &{}= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \\
        &{}= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} - \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) \\
        &{}= \cos z + i\sin z
\end{align}

אם נחליף את \ z ב-\ \theta נקבל את הניסוח שכתבנו בתחילת הערך.

באמצעות חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי[עריכת קוד מקור | עריכה]

נגדיר את הפונקציה \ f(x), במשתנה ממשי \ x, בתור:

 f(x) = (\cos x + i\sin x)\cdot e^{-ix} \

הנגזרת של (f(x, לפי חוק המכפלה, היא:

\begin{align}
 \frac{d}{dx}f(x) &{}= (\cos x + i\sin x)\cdot\frac{d}{dx}e^{-ix} + \frac{d}{dx}(\cos x + i\sin x)\cdot e^{-ix} \\
       &{}= (\cos x + i\sin x)(-i e^{-ix}) + (-\sin x + i\cos x)\cdot e^{-ix} \\
       &{}= (-i\cos x - i^2\sin x)\cdot e^{-ix} + (-\sin x + i\cos x)\cdot e^{-ix}  \quad \quad \quad (i^2=-1) \\
       &{}= (-i\cos x + \sin x - \sin x + i\cos x)\cdot e^{-ix} \\
       &{}= 0
\end{align}

לכן, \ f(x) חייבת להיות פונקציה קבועה ביחס ל-\ x. משום ש-\ f(0) ידוע, הקבוע ש- \ f(x) שווה אליו עבור כל \ x ממשי גם ידוע. כלומר:

(\cos x + i\sin x)\cdot e^{-ix} = f(x) = f(0) = (\cos 0 + i\sin 0)\cdot e^0 = 1 \,.

על ידי הכפלת שני הצדדים ב-\ e^{ix} ושימוש בשוויון

 e^{-ix} \cdot e^{ix} = e^{-ix \, + \, ix} = e^0 = 1 \,

נקבל כי:

 e^{ix} = \cos x + i \sin x \ .

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]