נוסחת ההיפוך של מביוס

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בקומבינטוריקה, נוסחת ההיפוך של מביוס משמשת, בהינתן פונקציה \ F שניתנת לתיאור בתור סכום מסוים על ערכי פונקציה אחרת \ f, לתאר בצורה ישירה את הפונקציה \ f באמצעות סכום של \ F.

הגרסה הקלאסית[עריכת קוד מקור | עריכה]

הגרסה ה"קלאסית" של הנוסחה היא כדלהלן: בהינתן שתי פונקציות אריתמטיות \ \!\, f,F, אם מתקיים \ F(n)=\sum_{d\mid n}f(d) לכל \!\, n\ge 1, אז ניתן להפוך את הנוסחה ולקבל \ f(n)=\sum_{d\mid n}F(n/d)\mu(d), כאשר \!\, \mu היא פונקציית מביוס.

אם מסמנים ב-\mathbf{1} את הפונקציה הקבועה שמקיימת \mathbf{1}(n)=1 לכל n, ומשתמשים בסימון של קונבולוציית דיריכלה, נוסחת מביוס אומרת שבהינתן F=f*\mathbf{1}, אז f=F*\mu. כלומר \mathbf{1} ו-\mu הם איברים הופכיים ביחס לקונבולוציית דיריכלה.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

P mathematics.svg ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.