נוסחת הרון

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בגאומטריה, נוסחת הֵרון משמשת לחישוב שטח של משולש על-פי אורכי שלוש צלעותיו.

דרך אחת להצגת נוסחת הרון היא:

\mathrm{area} = \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}\,

כאשר b ,a, ו-c מייצגות את אורך כל אחת מצלעות המשולש, ו-s מייצגת את היקף המשולש חלקי 2:

s=\frac{a+b+c}{2}

דרך נוספת להצגת נוסחת הרון היא:

\mathrm{area}={\ \sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\,}\ \over 4}

יציבות מספרית[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסחת הרון כפי שהוצגה לעיל אינה יציבה מספרית עבור משולשים בעלי זווית קטנה מאוד. חלופה יציבה מצריכה סידור מחדש של צלעות המשולש, כך ש-a ≥ b ≥ c וחישוב של הנוסחה

S = 1/4\sqrt{(a+(b+c)) (c-(a-b)) (c+(a-b)) (a+(b-c))}

הסוגריים הכרחיים למניעת אי יציבות מספרית בהערכה.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

גילוי הנוסחה מיוחס להרון מאלכסנדריה במאה הראשונה, והוכחה לנוסחה מופיעה בספרו "מטריקה" (Metrica). אף על פי כן, כיום מאמינים כי ארכימדס כבר הכיר את הנוסחה ואף ייתכן כי הנוסחה הייתה ידועה זמן רב קודם לכן. המתמטיקאי הסיני צ'ין ג'יו-האו גילה אותה מחדש במאה ה-13.

הוכחה[עריכת קוד מקור | עריכה]

להלן הוכחה מודרנית הנעזרת באלגברה ובטריגונומטריה. הוכחה זו שונה למדי מההוכחה שניתנה על ידי הרון.

נניח כי a, b, c מייצגות את צלעות המשולש, וכי A, B, C מייצגות את הזוויות הנגדיות להן, בהתאמה. על פי משפט הקוסינוסים

\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.

באמצעות שימוש באלגברה מגיעים ל-:

\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2 }}{2ab}.

הגובה לבסיס a הוא (bsin(C, ומכאן נובע ש-:

= \frac{1}{2} (\mbox{base}) (\mbox{altitude}) S\,
= \frac{1}{2} ab\sin(C)
= \frac{1}{4}\sqrt{4a^2 b^2 -(a^2 +b^2 -c^2)^2}
= \frac{1}{4}\sqrt{(c^2 -(a -b)^2)((a +b)^2 -c^2)}
= \frac{1}{4}\sqrt{(c -(a -b))((c +(a -b))((a +b) -c))((a +b) +c)}
= \sqrt{s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}.

כאשר s מוגדר כ-:

\ s = \frac{a + b + c}{2}

הכללה[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסחת הרון היא למעשה מקרה פרטי של נוסחת ברהמגופטה (Brahmagupta's formula) לשטח של מרובע החסום במעגל, ושניהם הם למעשה מקרים פרטיים של נוסחת ברטשניידר לשטח של מרובע.

הצגת נוסחת הרון באמצעות דטרמיננטה במונחים של ריבועי המרחקים בין שלושה קודקודים,

 S =  \frac{1}{4} \sqrt{ \begin{vmatrix} 
  0 & a^2 & b^2 & 1 \\
a^2 & 0   & c^2 & 1 \\
b^2 & c^2 & 0   & 1 \\
  1 &   1 &   1 & 0
\end{vmatrix} }

ממחישה את הדמיון לנוסחת טרטליה עבור נפח של פירמידה משולשת.

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]